محاسبه مقدار یک عبارت لگاریتمی

Question

اگر $A= \frac{ (1- \sqrt{2} )^{3} }{2+ \sqrt{2} } +12 \sqrt{ (1- \sqrt{2} )^{2} }$ انگاه $log_4( \frac{A}{7} )$ ( مبنا $4$ است )چقدر میشه؟

Answer 1

برای حل به روابط زیر احتیاج پیدا می کنیم.

$$\begin{align} \sqrt{ (1- \sqrt{2}) ^{2} }&= \mid 1- \sqrt{2} \mid \\ &=\sqrt{2} -1( \sqrt{2}-1) ^{2} \\ &=3-2\sqrt{2}\end{align}$$

حال حل سوال: بعد از ساده کردن توان با رادیکال در عبارت دوم(رابطه ی اول در بالا) و فاکتور گیری از یک منفی در عبارت اول به عبارت $\frac{-( \sqrt{2}-1) ^{3} }{2+\sqrt{2} } +12(\sqrt{2} -1)$ می رسیم که با فاکتورگیری از $\sqrt{2} -1$ و استفاده از رابطه ی دوم در بالا داریم:

$$\begin{align} (\sqrt{2} -1)(\frac{-3+2\sqrt{2} }{2+\sqrt{2} } +12)=& (\sqrt{2} -1)(\frac{-3+2\sqrt{2} +24+12 \sqrt{2} }{2+\sqrt{2} } )\\ &=(\sqrt{2} -1)(\frac{21+14\sqrt{2} }{2+\sqrt{2} } ) \end{align}$$

که با فاکتورگیری از 7 در صورت و ضرب مزدوج مخرج در صورت و مخرج داریم:

$\begin{align}7(\sqrt{2} -1)(\frac{(3+2\sqrt{2} )( 2-\sqrt{2} ) }{2 } )&= \frac{7(3+2\sqrt{2} )(3\sqrt{2}-4)}{2}\\ & = \frac{7\sqrt{2}}{2} =7 \times 2^{ \frac{-1}{2} } \end{align}$

پس:

$$\begin{align} Log_{4}^{ \frac{A}{7} } &= Log_{4}^{ 2^{ \frac{-1}{2} } } \\ &= \frac{-1}{2} Log_{4}^{2} \\ &= \frac{-1}{2} Log_{4}^{4^{ \frac{1}{2} }} \\ &= \frac{-1}{4} Log_{4}^{4} \\ &= \frac{-1}{4} \end{align}$$