بدست آوردنِ فرمول برای کانون و خط هادیِ یک سهمی عمودی به معادلهٔ $y=a(x-h)^2+k$.

Question

فرض کنید سهمی‌ای با معادلهٔ $y=ax^2+bx+c$ که به شکلِ $y=a(x-h)^2+k$ نیز می‌توان آن را بازنویسی کرد داده‌شده‌است. اکنون می‌خواهیم نقطهٔ کانون و خط هادی آن را بیابیم. اما فقط فرمول آخر را نمی‌خواهیم بلکه به دنبال این هستم که چگونه به این دو فرمول می‌رسند.

Answer 1

پس فرض کنیم که شما یک سهمی با برابریِ (معادلهٔ) $y=a(x-h)^2+k$ دارید و اکنون می‌خواهید مختصات نقطهٔ کانونی و برابریِ خط رَه‌نمای (هادی = هدایت‌کننده = ره‌نما) سهمی را بیابید.

نخست تعریف سهمی را به یاد آورید. برای یک نقطهٔ $F$ و یک خطِ $\ell$، مجموعهٔ نقطه‌هایی از صفحهٔ مختصات که فاصله‌شان از $F$ برابر با فاصله‌شان از $\ell$ می‌شود را یک سهمی با کانونِ $F$ و خط رهنمای $\ell$ می‌گوئیم. پس برای هر جفتِ $(F,\ell)$ یک سهمیِ یکتا داریم.

پس یک راه‌حل به جای اینکه از فرمول بالا شروع کنیم و به مختصات کانون و رهنما برسیم، این است که یک کانون و رهنما برداریم و به فرمول بالا برسیم. از شکل فرمول‌تان معلوم است که رهنما یک خط افقی به شکل $\ell\colon y=c_\ell$ است. از کجا می‌دانیم؟ فرض کنید هنوز نمی‌دانیم و این تنها یک حدس است، اگر اشتباه حدس زده باشیم باید به تناقض و اگر درست حدس زده باشیم باید به پاسخ درست برسیم. علت آن تناظر یک‌به‌یک بین سهمی‌ها و جفت‌های کانون و راهنمایشان است.

مختصات کانون را $(x_F,y_F)$ نمایش دهید. اکنون بنا به تعریف سهمی هر نقطهٔ $(x,y)$ای که بر روی سهمیِ مربوط به $(F,\ell)$ باشد باید در رابطهٔ زیر صدق کند.

$$(x-x_F)^2+(y-y_F)^2=(y-c_\ell)^2$$

توجه کنید که فاصلهٔ یک نقطه از یک خط افقی برابر با قدرمطلق تفاضل عرض نقطه از عرض خط افقی‌مان می‌شود. پس رابطهٔ بالا چیزی به جز برابریِ فاصلهٔ نقطه‌های سهمی از نقطهٔ کانون با فاصلهٔ نقطه‌های سهمی از خط راهنما نیست که هر دو طرف برابری به توان دو رسیده‌اند. با ساده‌کردن رابطهٔ بالا داریم؛

\begin{align} & (x-x_F)^2+y^2-2y_Fy+y_F^2=y^2-2c_\ell y+c_\ell^2\\ & \Longrightarrow (2y_F-c_\ell)y=(x-x_F)^2+(y_F^2-c_\ell^2)\\ & \Longrightarrow y=\frac{1}{2(y_F-c_\ell)}(x-x_F)^2+\frac{(y_F^2-c_\ell^2)}{2(y_F-c_\ell)}\\ & \Longrightarrow y=\frac{1}{2(y_F-c_\ell)}(x-x_F)^2+\frac{y_F+c_\ell}{2} \end{align}

خیلی هم عالی! رابطهٔ پیداشده را با رابطه‌تان می‌سنجیم. یک دستگاه ۳ برابری - ۳ گُم‌شده (مجهول) به شکل زیر بدست می‌آوریم.

$$\begin{cases} 2y_F-2c_\ell=\frac{1}{a}\\ x_F=h\\ \frac{1}{2}y_F+\frac{1}{2}c_\ell=k \end{cases}$$

با حل این دستگاهِ خطی، گم‌شده‌هایمان یعنی $x_F$ و $y_F$ و $c_\ell$ را می‌یابیم:

$$F=(h,k+\frac{1}{4k}),\quad\ell\;\colon\; y=k-\frac{1}{4k}$$

معنای این دستگاه و پاسخش چیست؟ این است که اگر مقدارهای آمده در پاسخ را بردارید، آنگاه مختصات نقطه و خطی را دارید که نقطه‌های بر روی مجموعه‌پاسخِ $y=a(x-h)^2+k$ فاصله‌شان از این نقطه و خط برابر می‌شود.

Answer 2

فاصله یک نقطه روی سهمی تا کانون برابر است با فاصله آن نقطه تا خط هادی. می‌دانیم که خط هادی و کانون سهمی $y=ax^2$ به ترتیب $y=-\frac{1}{4a}$ و $f=(0,\frac{1}{4a})$ است. حال برای بدست آوردن خط هادی و کانون فرم کلی $y=ax^2+bx+c$ داریم: $$y=ax^2+bx+c=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c $$ پس خط هادی آن به اندازه $-\frac{b^2}{4a}+c$ جابجا می‌شود یعنی: $$y=-\frac{1}{4a}+(-\frac{b^2}{4a}+c)$$ و کانون آن: $$f=(-\frac{b}{2a},\frac{1}{4a}+(-\frac{b^2}{4a}+c))$$ است.

Comments

دقیقا میخواستم بدونم از کجا میدونیم؟ البته با نوشتن فرم عمومی برحسب کانون و بست دادن اون با فرم استاندارد و تشکیل معادله کانون و خط هادی رو بدست اوردم ولی به نمیدونم روش دیگه ای هست یا نیست.

---

چیو از کجا میدونیم؟ در جوابی که نوشتم آیا مشکلی میبینید؟