به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
860 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
ویرایش شده توسط Elyas1

متجانس بودن یک عبارت نسبت به مجهولاتش به چه معناست؟

و فرق بین متجانس بودن، دوری بودن و متقارن بودن معادله نسبت به مجهولاتش در چیست؟

1. عبارت زیر دوری است:(با تبدیل a به b و b به c و c به a معادله تغییر نمی کند.)

$(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3$

2. عبارت زیر متقارن است: ( با تبدیل x به y و y به x معادله تغییر نمی کند). این همان تعریف دوری بودن است، پس چرا در بعضی از عبارت ها مانند قسمت سوم، از کلمه دوری بودن پرهیز شده؟ پس باید تفاوتی داشته باشند.

$x^3+xy+y^3$

3.عبارت زیر هم متقارن و هم متجانس است:

$(x+y+z)^5-x^5-y^5-z^5$

مرجع: تعریف متقارن بودن از کتاب الفبای جبر، محمد مهدی آذری، انتشارات دانش پژوهان جوان_ دوری بودن و متجانس بودن به همراه مثال هایشان کتاب روش های جبر نوشته پرویز شهریاری
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@Elyas1 یک جایگشت عضو $S_n$ یک ناوردای یک چندجمله‌ایِ $n$متغیره شمرده می‌شود اگر با اثر دادن این جایگشت روی متغیرهای چندجمله‌ای‌تان، چندجمله‌ای‌تان تغییر نکند. اگر تعریف دقیق این سه چیزی که گفتید را بنویسید یا منبعی که این نامگذاری‌ها را کرده‌است آنگاه خیلی ساده با کمک جایگشت‌ها پاسخ‌تان مشخص می‌شود. برای نمونه روی دو متغیر تنها یک دور (بدون در نظر گرفتن دور با درازای صفر) دارید که یک ترانهشت هم هست. پس تقارن و دورتان یکی شد. البته تقارن را ترجمهٔ چه چیزی گرفته‌اید؟ اگر ترجمهٔ symmetry گرفته‌اید معمولا symmetry می‌تواند کلی‌تر از یک ترانهشت هم منظور شود.
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
@AmirHosein با توجه به اینکه بنده از سواد زیادی برخوردار نیستم، زیاد متوجه سخنتان نشدم. اگر دو متغیر دوری باشند، آنگاه متقارن است؟ یعنی تنها برای دو متغیر از کلمه متقارن استفاده می کنیم؟
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@Elyas1 مرجعی که این اصطلاح‌ها را در آنجا دیدید را معرفی کنید تا به زبان همان مرجع برایتان بگویم.
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
+1
@AmirHosein قرار دادم.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
انتخاب شده توسط Elyas1
 
بهترین پاسخ

نویسنده واژهٔ «متجانس» را بد انتخاب کرده‌است. واژهٔ مناسب «همگن» است. یک چندجمله‌ای را همگن گویند هر گاه درجهٔ تک تک جمله‌های آن با هم برابر باشند. برای نمونه $x^5+3x^2y^3$ یک چندجمله‌ای همگن از درجهٔ ۵ است ولی چندجمله‌ایِ $x^2+2x+1$ همگن نیست. انگلیسیِ چندجمله‌ای همگن می‌شود homogeneous polynomial.

منظور نویسنده از چندجمله‌ای متقارن نسبت به $x_1=x_2$ که $x_1$ و $x_2$ دو تا از متغیرهای چندجمله‌ای‌تان است، چندجمله‌ای‌ای است که مجموعهٔ صفرهایش یک شکل بسازد که نسبت به ابررویهٔ $x_1=x_2$ متقارن است. وقتی دو متغیر دارید، ابر رویه یک خم یک بعدی می‌شود. ابر رویه یعنی رویه‌ای که بُعد آن یک واحد از بعد کل فضا کمتر است. در حالت دو بعد ابررویهٔ $x_1=x_2$ دقیقا یعنی خط نیمساز ربع یکُم و سوم. در سه بعد یعنی صفحه‌ای که نقطه‌هایش یک مختص‌شان دلخواه انتخاب می‌شود ولی دو مختص دیگرش با هم برابر هستند. و برای بعد دلخواه نیز به روش مشابه ابررویهٔ $x_1=x_2$ تعریف می‌شود.

برای یک نمونهٔ آشنا تابع $y=\frac{1}{x}$ را به یادآورید. نمودار این تابع نسبت به نیمساز یک‌چهارم یکم و سوم متقارن نبود؟ اکنون توجه کنید که نمودارِ این تابع با شکل مجموعه‌پاسخ‌های برابریِ $xy-1=0$ یکسان است. بنابراین چندجمله‌ایِ $xy-1$ نسبت به $x=y$ متقارن است.

اکنون یکی از نمونه‌های کتاب را نگاه می‌کنیم. $x^3+xy+y^3-4$ مجموعهٔ صفرهای این تابع دومتغیره را رسم می‌کنیم. در اینجا از نرم‌افزار Maple استفاده کرده‌ایم.

curve1 := plots[implicitplot](x^3 + y^3 + x*y - 4, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, color = 'blue'):
line1 := plot(x, x = -5 .. 5, color = 'red'):
plots[display](curve1, line1);

خمِ آبی‌رنگ شکل مورد نظر است و خط قرمز‌رنگ نیسماز یک‌چهارم یکم و سوم.

توضیحات تصویر

به عنوان یک تمرین ساده می‌توانید برای خودتان ثابت کنید که شکل هندسی صفرهای یک چندجمله‌ای $n$ متغیره $f$ در فضای $\mathbb{R}^n$ نسبت به ابررویهٔ $x_i=x_j$ که $i$ و $j$ دو عدد طبیعی بین ۱ و $n$ ولی مخالف یکدیگر هستند، تقارن دارد اگر و تنها اگر در ضابطهٔ $f$ با نوشتن $x_j$ به جای $x_i$ و نوشتن $x_i$ به جای $x_j$، حاصل ضابطهٔ یکسانی شود.

توجه کنید که $x^3+xy+y^3-4$ با اینکه نسبت به $x=y$ متقارن است ولی همگن نیست. بعلاوه توجه کنید که $x^3+xy+y^3+z$ نسبت به $x=y$ متقارن است ولی نسبت به $x=z$ یا $y=z$ متقارن نیست. زمانیکه تنها دو متغیر دارید می‌توانید از گفتن «نسبت به $x=y$» خودداری کنید چون به طور پیش‌فرض فقط همین دو متغیر را دارید و گفتن و نگفتن اینکه کدام دو متغیر را مدنظر دارید فرقی ایجاد نمی‌کند و خواننده می‌تواند حدس بزند منظورتان تقارن نسبت به کدام زوج‌متغیر است. اما زمانی که بیشتر از دو متغیر دارید باید اشاره کنید که نسبت به کدام دو متغیر منظورتان است مگر اینکه دوباره بنا به دلیلی فرض کنید که خواننده منظورتان را بفهمد. در کتاب $x^2+y^2+z^2+xy+xz+yz$ را خیلی راحت گفته‌است متقارن و همگن. همگن به خاطر اینکه هر جمله از درجهٔ ۲ است. متقارن منظورش نسبت به هر سهٔ $x=y$ و $x=z$ و $y=z$ است. ولی همین‌طور که دیدید الزامی ندارد که نسبت به هر سه باشد تا به آن متقارن گفت. نویسنده اشاره نکرده‌است نسبت به هر سه، زیرا فرض کرده‌است خواننده خودش متوجه می‌شود که نسبت به کدام‌ها تقارن وجود دارد.

و برویم به دنبال آخرین مورد. خود کتاب در هنگام تعریف دوری بودن تأکید کرده‌است که «اگر $x_1$ و $x_2$ و ... و $x_k$ یک تعدادی از متغیرها باشند آنگاه نسبت به $x_1,x_2,\dots,x_k$ دوری گوئیم اگر با نوشتنِ $x_{i+1}$ به جای $x_i$ و $x_1$ به جای $x_n$ ضابطهٔ چندجمله‌ای یکسان بماند» (البته من با نمادگذاری خودمان بازنویسی کردم). یعنی چه؟ یعنی اینکه نیازی ندارد همهٔ متغیرها درگیر باشند. برای نمونه هر چندجمله‌ای متقارنی نیز یک چندجمله‌ای دوری هم هست. چرا؟ چون مثلا فرض کنید چندجمله‌ای‌تان نسبت به $x=y$ متقارن است پس دوری نسبت به دورِ $(x,y)$ هم هست. زمانی که می‌نویسیم $(x_1,x_2,\dots,x_k)$ منظورمان دوری است که $x_1$ را به $x_2$ می‌برد و همینطور تا $x_{k-1}$ را به $x_k$ و $x_k$ را به $x_1$. پس همان‌گونه که برای متقارن باید اشاره کنید که نسبت به کدام دو متغیر، برای دوری نیز باید اشاره کنید نسبت به کدام دور مگر اینکه فرض شود که خواننده متوجه دورِ مورد نظر شما می‌شود. چندجمله‌ای دوری به انگلیسی می‌شود cyclic polynomial. چندجمله‌ای متقارن نیز به انگلیسی symmetric polynomial می‌شود.

اینک اگر درس جبر ۱ دورهٔ کارشناسی ریاضی را گذرانده باشید با گروه جایگشت‌ها آشنا شده‌اید. اگر خیر می‌توانید به یک منبع جبر دورهٔ کارشناسی مانند کتاب «جبر»، نوشتهٔ «علی‌اکبر محمدی حسن‌آبادی»، انتشارات دانشگاه اصفهان یا کتاب Abstract Algebra نوشتهٔ Foote و Dummit نگاه کنید، یا اینکه از خواندن ادامهٔ این پاسخ صرف نظر کنید چون تا جایی که کتاب منظور داشته‌است در بالا روشن شده‌است. یک مجموعهٔ متناهیِ $n$ عضوی را در نظر بگیرید. یک جایگشت یک تابع یک‌به‌یک و پوشا از این مجموعه به خودش است. در واقع از اسمش روشن است که یعنی اعضا جایشان را به هم می‌دهند و یک گشت ایجاد می‌شود. البته الزامی ندارد که همه این کار را بکنند. برای نمونه اگر مجموعهٔ‌مان $\lbrace 1,2,3,4,5\rbrace$ باشد یک جایگشت می‌تواند اینگونه باشد که ۱ را به ۲ و ۲ را به ۳ و سپس ۳ را به ۱ جابجا کنیم و ۴ و ۵ را سر جایشان نگه داریم. این جایگشت را با نمادها اینگونه نمایش می‌دهیم.

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 2 & 3 & 1 & 4 & 5 \end{pmatrix}$$

و نحوهٔ تعبیرش این است که سطر نخست اعضا را با هر ترتیبی که بخواهید دارد و سطر دوم نشان می‌دهد که عضو بالای سرش به چه چیزی نگاشته شده است. اگر توجه کنید این جایگشت یک دور بین سه عضو ۱ و ۲ و ۳ است. یا در واقع ۳ دور است که دور دوم و سوم بدیهی هستند و عضوی را به خودش می‌برند و تمام. با نمادگذاری‌ای که پیش‌تر هم دیدید این سه دور به شکلِ $(1,2,3)$ و $(4)$ و $(5)$ نمایش داده می‌شوند. معمولا دورهای بدیهی مانند $(4)$ را نمی‌نویسند چون دادهٔ جدیدی به ما نوشتنش نمی‌دهد. به هر حال، یک دور که $k$ عضو دارد را از مرتبهٔ $k-1$ می‌گویند. یک دور از مرتبهٔ ۱ را یک ترانهشت نیز می‌گویند. برای نمونه $(x,y)$ یک ترانهشت بر روی مجموعهٔ متغیرهای چندجمله‌ای‌تان است.

توجه کنید که هر جایگشتی الزاما یک دور نیست. مجموعهٔ جایگشت‌های روی $n$ عضو را با $S_n$ نمایش می‌دهند. انگلیسی واژهٔ جایگشت permutation است. اکنون چیزی که منتظرش بودیم. یک چندجمله‌ای با $n$ متغیر را در نظر بگیرید. یک جایگشت از $S_n$ را یک ناوردا برای این چندجمله‌ای می‌گوئیم هر گاه اثر دادن این جایگشت روی متغیرها در این چندجمله‌ای، ضابطهٔ آن را تغییر ندهد. پس چندجمله‌ای‌های متقارن در واقع چندجمله‌ای‌هایی هستند که دارای ناوردای ترانهش هستند، و چندجمله‌ای‌های دوری، چندجمله‌ای‌هایی هستند که دارای ناورداری دور هستند. چون یک ترانهش یک دور نیز است پس روشن است که یک چندجمله‌ای متقارن، دوری نیز است. انگلیسی ناوردا invariant است. قضیه‌ها و نتایج زیادی در هندسهٔ جبری پیرامون ناوردهای چندجمله‌ای‌ها هست که در صورت علاقه می‌توانید گشت و گذاری در آنها انجام دهید.

در نرم‌افزارهای ریاضی دستورهای آماده برای تعریف و استفادهٔ جایگشت‌ها وجود دارد. برای نمونه دستور Perm (که از ابتدای واژهٔ permutation می‌آید) برای تعریف جایگشت استفاده می‌شود. ولی توجه کنید که طراح‌های این نرم‌افزار ورودیِ این دستور را تنها عددهای طبیعی گرفته‌اند بنابراین اگر از این دستور می‌خواهید استفاده کنید به جای $x$ و $y$ و $z$ بهتر است از $x_1$ و $x_2$ و $x_3$ استفاده کنید. در زیر چک می‌کنیم که دو چندجمله‌ای‌ $x^3+y^3+z^3+xy+xz+yz$ و $x^4+y^3+z^2-xyz$ نسبت به دور $(x,y,z)$ دوری هستند یا خیر.

sigma := Perm([[1, 2, 3]]):
f := x[1]^3 + x[2]^3 + x[3]^3 + x[1]*x[2] + x[1]*x[3] + x[2]*x[3];
eval(f, {seq(x[i] = x[sigma[i]], i = 1 .. 3)});
g := x[1]^4 - x[1]*x[2]*x[3] + x[2]^3 + x[3]^2;
eval(g, {seq(x[i] = x[sigma[i]], i = 1 .. 3)});

که خروجی‌اش به شکل زیر می‌شود.

توضیحات تصویر

همان‌گونه که می‌بینید $(x,y,z)$ یک ناوردا برای چندجمله‌ای یکُم است ولی برای دومی نیست.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...