با درود. بهتر بود روش فرجه گیری را میپرسیدید. چون این سؤال در واقع میتواند چندین سؤال تلقی شود که علت امتیاز منفی سؤالتان همین است. روشی را که مینویسم، با دقت دلخواه هر فرجه ای از هر عددی را بدست می آورد. اگر بخواهیم فرجه $n$ ام از عدد $m$ را بدست بیاوریم، ابتدا باید تعاریف زیر را داشته باشیم.
$X= $ $m$ ریشه $n$ ام عدد $\Longrightarrow $ $ X=\sqrt[n]{m}$
این یعنی $X$ باید $n$ بار به خودش ضرب شود تا مساوی $m$ شود.
برای ادامه کار باید ببینیم $m$ بین کدام دو عدد صحیح متوالی $k$ بشکل زیر قرار دارد.
$ k_{1} ^{n} < m < k_{2} ^{n} $
با فرمول زیر مقدار اولیه $ X_{1} $ را با تقریب ناقص بدست می آوریم.
$ 1) X_{1} =k_{2}- \frac{ k_{2} ^{n} -m }{k_{2}^{n} - k_{1}^{n} } $
سپس با روند زیر میتوان با دقت دلخواه، فرجه $n$ ام از هر عدد دلخواه $m$ را بدست آورد. معمولاً فرمول $2$ برای تقریب حداقل دورقمی کافیست.
$2)X_{2} =X_{1}- \frac{ X_{1} ^{n} -m }{n× X_{1}^{n-1} }$
$3)X_{3} =X_{2}- \frac{ X_{2} ^{n} -m }{n× X_{2}^{n-1} }$
$ 4) X_{4} = .............$
مثال ۱: میخواهیم
$ \sqrt[2]{20}=4.47213595499958 $
را محاسبه کنیم. داریم
$ 4^{2} < 20< 5^{2} \Longrightarrow X_{1}=5- \frac{ 5^{2}-20 }{5^{2}-4^{2}} \approx 4.4 \Longrightarrow X_{2} =4.4- \frac{4.4^{2}-20}{2×4.4^{1}}=4.47 \overline{2} $
مثال ۲: میخواهیم $\sqrt[3]{20} =2.714417616594906$ را محاسبه کنیم. داریم.
$ 2^{3} < 20< 3^{3} \Longrightarrow X_{1}=3- \frac{ 3^{3}-20 }{3^{3}-2^{3}}\approx 2.6 \Longrightarrow X_{2} =2.6- \frac{2.6^{3}-20}{3×2.6^{2}}=2.719526627218935$
