نسبت هاي مثلثاتي براي زاويه 5 درجه؟؟

Question

نسبت هاي مثلثاتي براي زاويه ي5 درجه رو ميخواستم؟؟

Comments

می توان از $(\cos\theta +i\sin\theta)^n=(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ استفاده کرد و به راحتی یک مقدار برای آن پیدا کرد. ولی فکر نکنم بشه به روش های معمولی دبیرستانی نسبت مثلثاتی 5 درجه رو حساب کرد.
در واقع اگر $e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$ آنگاه $e^{i\frac\pi{36}}=\cos \frac\pi{36}+i\sin(\frac\pi{36})$ و همینطور $e^{\frac{-\pi}{36}i}=\cos \frac{\pi}{36}-i\sin\frac{\pi}{36}$ بنابراین با جمع دو رابطه قبل داریم $\sin\frac{\pi}{36}=\frac1{2i}(e^{\frac{\pi}{36}i}-e^{\frac{-\pi}{36}i})$
مگر اینکه بخواید تا تقریب چند رقم به دستش بیارید!

Answer 1

یا می توانید $\sin 15$ را از $\sin ^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}2$ به دست آورید$\sin ^215=\frac12(1-\cos 30)$.( توجه کنید که چون $\sin 15$ در ربع اول قرار می گیرد پس مثبت است)
و $\sin 20$ را از فرمول $\sin 3\alpha=-4\sin^3\alpha+3\sin\alpha$ به دست آورید اما برای حل این یکی مجبور میشید یک معادله ی درجه سوم حل کنید که فکر نکنم خیلی ساده باشه.
و در آخر از $\sin(20-15)$ مقدار $\sin 5$ به دست میاد.

Comments

@AmirHosein
یادم نمیاد چرا. فکر کنم به خاطر اینکه وقت نکردم اون موقع دقیق جواب رو حساب کنم.