دایرهٔ مثلثاتی و نسبت های مثلثاتی چه هستند؟

Question

من در درک دایرهٔ مثلثاتی و نسبت‌های مثلثاتی مشکل دارم.

1. چرا دایره مثلثاتی شعاع یک واحد دارد؟

2. آیا هر مقداری که برای نسبت‌های مثلثاتی بدست می‌آید برای هر دایره‌ای صادق است؟ مثلا آیا در همهٔ دایره‌ها رابطهٔ $\sin30= \frac{1}{2}$ ثابت است؟

3. اصلا این مقدارها را چگونه محاسبه می‌کنند؟

4. در مثلث قائم الزاویه، آیا نسبت‌های مثلثاتی برای زوایهٔ 90 درجه تعریف می شوند؟

Answer 1

شعاع دایره مثلثاتی قراردادیست و در حاصل عبارت‌های مثلثاتی بی‌تأثیر است (چون مقدارها نسبی هستند) و برای ساده نکردنِ دوباره، آن را همیشه 1 فرض می‌کنیم.

چنانچه فرض کنیم دایره دارای شعاع دلخواه $R$ است در اینصورت

به عنوان مثال بنا به تعریف کسینوس داریم

$$\cos(x)=\frac{R\cos(x)}{R} $$

همانطور که مشاهده می کنید شعاع‌ها با هم ساده می‌شوند.

Comments

@Reza.S
چراشعاع دایره در حاصل عبارت های مثلثاتی بی تاثیر است..یعنی چی مقدار های نسبی هستند..
اگر میشه جواب های دیگر هم جواب دهید..؟
ممنون

---

اگه درباره چگونگی به دست آوردن فرمول های سینوس و کسینوس و...نگرانی داری باید بگم که تعاریف دقیق و نحوه محاسبه در آنالیز ریاضی بحث میشه و نیاز به مقدمات فراوانی داره.

Answer 2

در واقع اگر ما مثلثی به طول وتر یک را در نظر بگیریم آنگاه طول ضلعها ی یک زاویه همان مقدار کسینوس یا سینوس آن زاویه می شوند

$$sin A = \frac{َBC}{AB}= \frac{BC}{1} =BC $$ $$cos A = \frac{َAC}{AB}= \frac{AC}{1} =AC $$

حال اگر مبدا مختصات را روی راس زاویه قرار دهیم به طوریکه یکی از محور ها بر یکی از ضلعها مماس شود آنگاه محور ها بیان کننده مقدار سینوس یا کسینوس می شوند

لذا باید شعاع دایره را $1$ بگیریم.

در جواب سوال دوم همانطور که خیلی کامل رضا نشون داد مقدار سینوس و کسینوس ربطی به شعاع دایره نداره اما اگر شعاع دایره را غیر از یک مثلا $ R $ بگیریم آنگاه محورها مقدار $R.sin A $ و $R.cos A $را نشان می دهند نه سینوس و کسینوس رو

چون در مثلث امکان نداره دو زاویه قائمه داشته باشیم بطور رسمی برای زاویه $90$ رابطه ای مانند زوایای حاده دیگر نداریم اما توجیهاتی وجود دارد که اتفاقا از واقعیت نشات می گیرندمثلا اگر زاویه به 90 نزدیک شود ضلع رو به رو هی بزرگ و ضلع مجاور کوچک می شود(وتر را ثابت بگیریم) در $90$ ضلع رو به رو و وتر یکی می شوند(پس نسبتشون $1$ میشه) و مجاور صفر میشه (پس نسبت مجاور به وتر برابر صفر است)

Comments

بله اتحادها و مقدار نسبتها ربطی به مثلث یا دایره ندارند
در واقع درسته که در ابتدا نسبت های مثلثاتی از بررسی مثلث قایم الزاویه و فقط برای زوایای حاده بوجود آمده اند اما در واقع توابعی هستند که به هر زاویه یک عدد را نسبت میدهند(منظورم جواب قسمت دومه وقتی 30 دادیم یک جواب میگیریم چون تابع است)

---

دقت کنید در ابتدا نسبتهای مثلثاتی برای زوایای حاده تعریف شده بودند برای بدست آوردن اتحاهای مثلثاتی و بدست آوردن نسبت ها برای زوایای بزرگتر از تکنیک دایره مثلثاتی استفاده می کنیم

که دلیل راحتی کار این است که دو محور به محورهای سینوس و کسینوس تبدیل می شوند(شعاع دایره 1 باشد) و راحت تر قابل بررسی است. و روابطی رو بین توابع می یابیم

---

@erfanm
باتوجه به دیدگاه شما بایدنسبت های مثلثاتی برای زاویه های 0و90و180و270 درجه
در همه دایره ها یکسان باشد...
واینکه فرمودید اتحاد ها مثلثاتی برای همه دایره ها صادق است..
پس باید اتحاد های مانند زیر برای هر دایره ایی صادق باشد؟؟!!!! ایا درسته یا نه؟
$  sin^2+cos^2=1$

---

@erfanm
اقای منوچهری ممنون میشم..جواب دیدگاه منو بدید..؟

---

سینوس و کسینوس یک سری تابع و اتحادها رابطه بین این توابع هستند  همانطور که در صورت اتحاد دیده می شود فقط به زاویه بستگی دارد نه توش دایره هست نه مثلث

در واقع اتحادها ربطی به دایره ندارند یعنی به کمک دایره خاصی بدست نیامده اند
بلکه از دایره ها برای نمایش بهتر و یا بدست آوردن نتایج دیگر استفاده می شود.

Answer 3

Comments

saderi7@
عالی بود. تشکر.
عدد پی نسبت محیط دایره به قطر آن است.
همچنین با تغییر شعاع دایره عدد پی تغییر نمی کند! این عدد مسقل از تغییرات شعاع است. لذا نسبت های مثلثاتی تغغیر نمی کنند.

---

@گوناز الآن این دیدگاهی که اینجا گذاشتید چه می‌کند؟ برای تشکر بر روی علامت سه‌گوش رو به بالای سمت راست پست کلیک کنید. بدون اشاره به عدد پی این پاسخ مشکلی ندارد.

---

@saderi7 لطفا متن و فرمول‌های پاسخ را تایپ کنید و از تصویر تنها برای شکل‌ها استفاده کنید.