اگر $\tan\theta=\frac{3}{4}$ و انتهای کمان $\theta$ در یک چهارم سوم باشد، آنگاه انتهای $\frac{9\pi}{2}-\theta$ در کدام ناحیه است؟

Question

با سلام. سوالی برای بنده پیش اومده ممنون می‌شم راهنمایی بفرمایید. پرسش زیرا را بخوانید.

اگر تانژانت$ \theta $ برابر با سه چهارم باشه و انتهای کمان $ \theta $ در ناحیه سوم باشد حاصل عبارت زیر را بیابید:

$$\sin( \frac{9 \pi }{2} - \theta) $$

سوالی که برام پیش اومده اینه که الان زاویه $\theta$ یک زاویه باز محسوب می‌شه. $\frac{9 \pi }{2} $ که مثل همون $ \frac { \pi }{2} $عمل میکنه اما $ \theta $ یه زاویه بازه. الان اگه بخواهیم علامت سینوس رو تعیین کنیم چون زاویه بازه نمی‌تونیم بگیم ناحیه اوله چون نمی‌دونیم کدوم ناحیه قرار می‌گیره. می‌خام بدونم حرفم درسته یا دارم جایی رو اشتباه می‌کنم.

به نظرم طرح سوالش اشتباهه.

Answer 1

ابتدا بیایید با نسخه‌ای از $\tan$ کار کنیم که دامنه‌اش به $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ محدود‌شده‌است کار کنیم¹. توجه کنید که این $\tan$ تابعی افزایشیِ اکید است. چون $\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{3}{4} < 1$ پس باید $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$. اکنون برگردیم به حالت کلی. دورهٔ گردش (تناوب) $\tan$ برابر با $\pi$ است، پس اگر مقدار دقیق زاویه‌ای که بین $\frac{\pi}{6}$ و $\frac{\pi}{4}$ قرار دارد و تانژانتش $\frac{3}{4}$ می‌شود را با $\theta_0$ نمایش دهیم، آنگاه هر زاویه‌ای که در $k\pi+\theta_0$ صدق کند نیز همین مقدار را برای تانژانتش خواهد داشت. توجه کنید که اگر $k$ فرد باشد انتهای کمانِ زاویهٔ $\theta$ (با فرض شروع از محور $x$ها و جهات مثبت گردش را پادساعتگرد گرفتن) در ناحیهٔ یک‌چهارمِ سوم قرار می‌گیرد و اگر $k$ زوج باشد آنگاه در یک‌چهارمِ یکُم قرار می‌گیرد. پس با توجه به فرض پرسش اکنون می‌دانیم که $\theta$ باید به شکلِ $(2k+1)\pi+\theta_0$ باشد. اینک همه‌چیز آماده است.

$$\frac{9\pi}{2}-\theta=4\pi+\frac{\pi}{2}-(2k+1)\pi-\theta_0=\big(2(-k+1)+1)\pi+(\frac{\pi}{2}-\theta_0)$$

خب $2(-k+1)\pi$ که یعنی یک تعداد گردش کامل که برمی‌گردد روی سمت مثبت محور $x$ها و عملا بی‌اثر است. می‌ماند $\pi+\frac{\pi}{2}-\theta_0$ که مهم است.

\begin{align} \frac{\pi}{6} < \theta_0 < \frac{\pi}{4} &\Longrightarrow -\frac{\pi}{4} < -\theta_0 < -\frac{\pi}{6}\\ &\Longrightarrow \pi+\frac{\pi}{4} < -\theta_0+\frac{\pi}{2}+\pi < \pi+\frac{\pi}{3} \end{align}

پس انتهای کمان زاویهٔ $\frac{9\pi}{2}-\theta$ در یک‌چهارمِ سوم قرار می‌گیرد.

---

1. توجه کنید که $\frac{\pi}{2}$ عضوی از دامنهٔ تابع $\tan x$ نیست. اما چرا و چگونه‌شده‌است که در متن بالا در دامنهٔ نسخهٔ $\tan$-ِ ما آمده‌است؟ در اینجا هم‌دامنهٔ $\tan$ را $\mathbb{R}\cup\lbrace\text{تعریف‌نشده}\rbrace$ در نظر گرفته‌ام که بتوانیم $k\pi+\frac{\pi}{2}$ها را به دامنه بیفزائیم. اما برداشتن فقط یکی از $\frac{\pi}{2}$ و $-\frac{\pi}{2}$ برای ما کافی بود چون با به یاد آوردنِ گردش (تناوب) ای که $\tan$ دارد، دانستن اینکه چه چیزی بر روی $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ رُخ می‌دهد کافیست تا با کمک تکرار آن بتوان کل $\mathbb{R}$ را پوشاند. این کار را صرفا برای پوشاندن دایرهٔ مثلثاتی انجام داده‌ایم. الزامی برای پاسخ به پرسشِ اینجا نداشته‌است ولی صرفا خواسته‌ایم زاویه‌های $\frac{\pi}{2}$ و $\frac{3\pi}{2}$ را از دایرهٔ مثلثاتی از دست ندهیم. البته ممکن است مشکل‌های پسینی داشته باشد مانند اینکه باید اضافه کنیم که «تعریف‌نشده» را بزرگتر از اعداد حقیقی در نظر می‌گیرم که ترتیب از $\mathbb{R}$ به $\mathbb{R}\cup\lbrace\text{تعریف‌نشده}\rbrace$ توسعه یابد و جملهٔ افزایشیِ اکید بودنی که در متن بالا آوردیم به مشکل برنخورد. با این دست‌کاری کوچک، ابزاری که اکنون داریم برای کل دایرهٔ مثلثاتی کار خواهد کرد. ↩︎

Comments

بنابراین علامت سینوس منفی خواهد شد نه مثبت. یعنی عبارت ما برابر میشه با منفی کسینوس.

---

واقعا عالی توضیح دادید ممنون از وقتی که گذاشتید.