در یک چهارضلعی، اضلاع $AC,BC,BD,AD$ به ترتیب برابر $2 \sqrt{7},3 \sqrt{7} ,9,4$ اند و $\widehat{ACB}=120$. اندازه پاره خط $CD$ چقدر است؟

Question

در چهارضلعی $ACBD$، اندازه اضلاع $AC,BC,BD,AD$ به ترتیب برابر $2 \sqrt{7},3 \sqrt{7} ,9,4$ است. اندازه زاویه $ \hat{C} $ برابر با $120°$ است. اندازه پاره خط $CD$ چقدر است؟

Comments

Dana_Sotoudeh@ بفرمایید آیا پاسخ دقیقا برابر 6 است ؟ چون در محاسبه کمی کمتر از 6 به دست می آید.

---

سلام خدمت شما ، ببخشید اسم شریف شما رو نمی دانم. بله دقیقا برابر ۶ است. به چه شیوه ای محاسبه کردید؟

---

Dana_Sotoudeh@ با این اعدادی که داده شده راهی خیلی طولانی با محاسباتی حجیم انجام دادم تا به جواب رسیدم. واقعا خیلی حوصله میخواد تا تایپ آن انجام شود

---

@Dana_Sotoudeh برای مخاطب قرار دادن یک کاربر در یک پیام نیازی به دانستن نام او نیست، علامت اتسای بگذارید و سپس بدون فاصله نام کاربری‌شان را تایپ کنید و سپس یک فاصله بگذارید مانند کاری که @good4us و من برای مخاطب قرار دادن شما انجام دادیم.

Answer 1

$ BD^{2}=28+63-84cos(120^{ \circ })=133 \Rightarrow BD= \sqrt{133} $

$$133=16+81-72cos \hat{C} \Rightarrow \hat{C}=120^{ \circ }$$

$S_{ \bigtriangleup BCD}=18sin(120^{ \circ })=9\sqrt{3} \Rightarrow 9\sqrt{3}= \frac{\sqrt{133}CH}{2} \Rightarrow CH=\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{133}} $

$$S_{ \bigtriangleup BAD}=21sin(120^{ \circ })= \frac{21\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{21\sqrt{3}}{2}= \frac{\sqrt{133}AH'}{2} \Rightarrow AH'=\frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{133}} $$

با توجه به تشابه : $ \frac{AO}{OC}=\frac{AH'}{CH}=\frac{OH'}{OH} $ و باتوجه به خواص تناسب $( \star )$ $ \frac{AO}{AC}= \frac{\frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{133}}}{\frac{39\sqrt{3}}{\sqrt{133}}}= \frac{7}{13} $

$ BH^{2}=16- \frac{ 18^{2} \times 3 }{133} \Rightarrow BH=\frac{34 }{\sqrt{133}} $

$$ BH'^{2}=28- \frac{ 21^{2} \times 3 }{133} \Rightarrow BH'=\frac{7 \times 133 }{19\sqrt{133} } $$

$HH'=BH'-BH=\frac{15 }{\sqrt{133}}$

$$\frac{AO}{AC}= \frac{7}{13}= \frac{OH'}{HH'} \Rightarrow OH'=\frac{7 \times 15 }{13\sqrt{133}} $$

$AO= \sqrt{ AH'^{2}+OH'^{2}}= \frac{42}{13} $

باتوجه به تناسب$( \star )$

$$\color{red}{AC= 6}$$

Answer 2

با استفاده از قضیه کسینوسها داریم:

$ AB^{2}=28+63+42=133=7×19$

قرار می‌دهیم$ \alpha = \angle BAC و \beta = \angle BAD.$

داریم: $ cos\alpha = \frac{133+28-63}{2×2\sqrt{7}×\sqrt{133} } = \frac{7\sqrt{19} }{38} \Rightarrow sin\alpha= \frac{3\sqrt{57} }{38}$

$cos\beta = \frac{133+16-81}{2×4× \sqrt{133} } = \frac{17\sqrt{133} }{266} \Rightarrow sin\beta = \frac{9\sqrt{399} }{266} $

$cos(\alpha + \beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta= \frac{7×17×19× \sqrt{7} }{266×2} - \frac{27×3×19× \sqrt{7} }{266×2} = \frac{ \sqrt{7} }{14} $

حال دوباره از قضیه کسینوسها استفاده می‌کنیم:

$CD= \sqrt{28+16-2×2\sqrt{7}×4× \frac{ \sqrt{7} }{14} } = \sqrt{36} =6$

Comments

با سلام
لطفا شیوه تایپ کردن رو در قسمت راهنمایی سایت مشاهده کنید. برای این سوال بنده سوالتون رو ویرایش کردم