به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+8 امتیاز
491 بازدید
در دبیرستان توسط Dana_Sotoudeh (2,375 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

توضیحات تصویر

در چهارضلعی $ACBD$، اندازه اضلاع $AC,BC,BD,AD$ به ترتیب برابر $2 \sqrt{7},3 \sqrt{7} ,9,4$ است. اندازه زاویه $ \hat{C} $ برابر با $120°$ است. اندازه پاره خط $CD$ چقدر است؟

توسط good4us (7,356 امتیاز)
Dana_Sotoudeh@ بفرمایید آیا پاسخ دقیقا برابر 6 است ؟ چون در محاسبه کمی کمتر از 6 به دست می آید.
توسط Dana_Sotoudeh (2,375 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
سلام خدمت شما ، ببخشید اسم شریف شما رو نمی دانم. بله دقیقا برابر ۶ است. به چه شیوه ای محاسبه کردید؟
توسط good4us (7,356 امتیاز)
+2
Dana_Sotoudeh@ با این اعدادی که داده شده راهی خیلی طولانی با محاسباتی حجیم انجام دادم تا به جواب رسیدم. واقعا خیلی حوصله میخواد تا تایپ آن انجام شود
توسط AmirHosein (19,707 امتیاز)
+3
@Dana_Sotoudeh برای مخاطب قرار دادن یک کاربر در یک پیام نیازی به دانستن نام او نیست، علامت اتسای بگذارید و سپس بدون فاصله نام کاربری‌شان را تایپ کنید و سپس یک فاصله بگذارید مانند کاری که @good4us و من برای مخاطب قرار دادن شما انجام دادیم.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط good4us (7,356 امتیاز)
انتخاب شده توسط Dana_Sotoudeh
 
بهترین پاسخ

توضیحات تصویر

$ BD^{2}=28+63-84cos(120^{ \circ })=133 \Rightarrow BD= \sqrt{133} $
$$133=16+81-72cos \hat{C} \Rightarrow \hat{C}=120^{ \circ }$$
$S_{ \bigtriangleup BCD}=18sin(120^{ \circ })=9\sqrt{3} \Rightarrow 9\sqrt{3}= \frac{\sqrt{133}CH}{2} \Rightarrow CH=\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{133}} $
$$S_{ \bigtriangleup BAD}=21sin(120^{ \circ })= \frac{21\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \frac{21\sqrt{3}}{2}= \frac{\sqrt{133}AH'}{2} \Rightarrow AH'=\frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{133}} $$

با توجه به تشابه : $ \frac{AO}{OC}=\frac{AH'}{CH}=\frac{OH'}{OH} $ و باتوجه به خواص تناسب $( \star )$ $ \frac{AO}{AC}= \frac{\frac{21\sqrt{3}}{\sqrt{133}}}{\frac{39\sqrt{3}}{\sqrt{133}}}= \frac{7}{13} $

$ BH^{2}=16- \frac{ 18^{2} \times 3 }{133} \Rightarrow BH=\frac{34 }{\sqrt{133}} $
$$ BH'^{2}=28- \frac{ 21^{2} \times 3 }{133} \Rightarrow BH'=\frac{7 \times 133 }{19\sqrt{133} } $$
$HH'=BH'-BH=\frac{15 }{\sqrt{133}}$
$$\frac{AO}{AC}= \frac{7}{13}= \frac{OH'}{HH'} \Rightarrow OH'=\frac{7 \times 15 }{13\sqrt{133}} $$
$AO= \sqrt{ AH'^{2}+OH'^{2}}= \frac{42}{13} $

باتوجه به تناسب$( \star )$

$$\color{red}{AC= 6}$$
+2 امتیاز
توسط amirhm (129 امتیاز)
ویرایش شده توسط Dana_Sotoudeh

با استفاده از قضیه کسینوسها داریم:

$ AB^{2}=28+63+42=133=7×19$

قرار می‌دهیم$ \alpha = \angle BAC و \beta = \angle BAD.$

داریم: $ cos\alpha = \frac{133+28-63}{2×2\sqrt{7}×\sqrt{133} } = \frac{7\sqrt{19} }{38} \Rightarrow sin\alpha= \frac{3\sqrt{57} }{38}$

$cos\beta = \frac{133+16-81}{2×4× \sqrt{133} } = \frac{17\sqrt{133} }{266} \Rightarrow sin\beta = \frac{9\sqrt{399} }{266} $

$cos(\alpha + \beta)=cos\alpha cos\beta-sin\alpha sin\beta= \frac{7×17×19× \sqrt{7} }{266×2} - \frac{27×3×19× \sqrt{7} }{266×2} = \frac{ \sqrt{7} }{14} $

حال دوباره از قضیه کسینوسها استفاده می‌کنیم:

$CD= \sqrt{28+16-2×2\sqrt{7}×4× \frac{ \sqrt{7} }{14} } = \sqrt{36} =6$

توسط Dana_Sotoudeh (2,375 امتیاز)
+1
با سلام
لطفا شیوه تایپ کردن رو در قسمت راهنمایی سایت مشاهده کنید. برای این سوال بنده سوالتون رو ویرایش کردم
آموزش جبر در مراحل اولیه باید شامل تعمیمی تدریجی از حساب باشد؛ به بیان دیگر، در اولین مرحله، باید جبر را به عنوان حساب جهانی در محکم ترین مفهوم تلقی کرد.
...