Question

در ذوزنقه $ABCD$ ، نقطه $M$ وسط پاره خط $BC$ است و داریم:$2MP=5AM , CD=3AB$. اگر مساحت مثلث $ADP$ برابر $28$ باشد، مساحت ناحیه هاشور خورده چقدر است؟

Answer 1

با سلام. در مثلث $ADP$ با در نظر گرفتن راس $D$، نسبت دو قاعده $AM$ به $PM$ برابر $ \frac{2}{5}$ است. پس نسبت مساحت دو مثلث $AMD$ و $PMD$ نیز به همان نسبت است‌ با توجه به مساحت مثلث $ADP$‌ که $28$ است مساحت مثلث $AMD$ برابر $8$ است. از طرفی نقطه $M$ وسط ضلع $BC$ است، آنگاه مساحت مثلث $AMD$ نصف مساحت ذوزنقه $ABCD$ است پس مجموع مساحت دو مثلث $ABM$ و $DMC$ هم $8$ است. نسبت مساحت مثلث $ABM$ و $DMC$ نسبت قاعده هایشان است ( با یک نسبت به راحتی میشه نتیجه گیری کرد) از طرفی $CD = 3 AB$ پس مساحت مثلث $ABM$ برابر $2$ است. حال اگر ضلع $CD$ را امتداد دهیم دا پاره خط $AP$ را در نقطه $N$ قطع کند، مساحت مثلث $DNP$ برابر $12$ میشود(چرا؟ به دلیل نسبت قاعده ها و مساحت) و دو مثلث $ABM$ و $MNC$ هم نهشت هستند ( ض‌ض‌ز) پس مساحت قسمت هاشور زده برابر مساحت دو مثلث $MNC$ و $DNP$ است. $12 + 2 = 14$