ابتدا بیایید با نسخهای از $\tan$ کار کنیم که دامنهاش به $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ محدودشدهاست کار کنیم. توجه کنید که این $\tan$ تابعی افزایشیِ اکید است. چون $\frac{\sqrt{3}}{3} <\frac{3}{4} <1$ پس باید $\frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{4}$. اکنون برگردیم به حالت کلی. دورهٔ گردش (تناوب) $\tan$ برابر با $\pi$ است، پس اگر مقدار دقیق زاویهای که بین $\frac{\pi}{6}$ و $\frac{\pi}{4}$ قرار دارد و تانژانتش $\frac{3}{4}$ میشود را با $\theta_0$ نمایش دهیم، آنگاه هر زاویهای که در $k\pi+\theta_0$ صدق کند نیز همین مقدار را برای تانژانتش خواهد داشت. توجه کنید که اگر $k$ فرد باشد انتهای کمانِ زاویهٔ $\theta$ (با فرض شروع از محور $x$ها و جهات مثبت گردش را پادساعتگرد گرفتن) در ناحیهٔ یکچهارمِ سوم قرار میگیرد و اگر $k$ زوج باشد آنگاه در یکچهارمِ یکُم قرار میگیرد. پس با توجه به فرض پرسش اکنون میدانیم که $\theta$ باید به شکلِ $(2k+1)\pi+\theta_0$ باشد. اینک همهچیز آماده است.
$$\frac{9\pi}{2}-\theta=4\pi+\frac{\pi}{2}-(2k+1)\pi-\theta_0=\big(2(-k+1)+1)\pi+(\frac{\pi}{2}-\theta_0)$$
خب $2(-k+1)\pi$ که یعنی یک تعداد گردش کامل که برمیگردد روی سمت مثبت محور $x$ها و عملا بیاثر است. میماند $\pi+\frac{\pi}{2}-\theta_0$ که مهم است.
\begin{align}
\frac{\pi}{6} < \theta_0 < \frac{\pi}{4} &\Longrightarrow -\frac{\pi}{4} < -\theta_0 < -\frac{\pi}{6}\\
&\Longrightarrow \pi+\frac{\pi}{4} < -\theta_0+\frac{\pi}{2}+\pi < \pi+\frac{\pi}{3}
\end{align}
پس انتهای کمان زاویهٔ $\frac{9\pi}{2}-\theta$ در یکچهارمِ سوم قرار میگیرد.
