اگر $ 3\sin x +\cos x = 2 $ آنگاه $ \frac{3 \sin x}{4\sin x+3 \cos x} =? $

Question

اگر $ 3\sin x +\cos x = 2 $ مقدار $$ \frac{3 \sin x}{4\sin x+3 \cos x} =? $$ كدام است؟

الف ) ٢ ب ) ٤ ج ) ٠/٥ د)٠/٢٥

Comments

از اعداد گزینه هاتون اطمینان دارید؟لطفا بررسی کنید.

---

بله ولي اگر جوابي غير از اين داريد لطفا اعلام كنيد

Answer 1

$$3 \sin x=2-cos x$$ $9 \sin^2 x=4-4cos x+cos^2 x$ $$10cos^2x-4cos x-5=0 $$ $cos x= \frac{2 \mp 3 \sqrt[]{6} }{10} $

باتوجه به اینکه$ sin x=\frac{2- cos x}{3} $

$$ A=\frac{3 \sin x}{4\sin x+3 \cos x} = \frac{2-cos x}{4 \times \frac{2- cos x}{3}+3 cos x} = \frac{2- cos x}{8+5 cos x}$$

که با جانشینی مقدار cos x

$A=\frac{21 \mp 6 \sqrt[]{6} }{25}$

Answer 2

ابتدا خواسته را در $ \cos x$ ضرب وتقسیم میکنیم . خواهیم داشت :

$$A:=\dfrac{\dfrac{3\sin x}{ \cos x}}{\dfrac{4\sin x+3\cos x}{\cos x}}=\dfrac{3\tan x}{4\tan x+3} \tag{1}$$

حال از معادله زیر $\tan x$ را بدست میاوریم :

$$3\sin x +\cos x =2 \\ 9\sin^2 x+\cos ^2 x +3\sin 2x=4 \\8 \sin ^2 x+3\sin 2x-3=0$$

حال فرض کنید که $u:=\tan x$

در نتیجه با توجه به فرمول های زیر خوایهم داشت :

$$\sin^2 x=\dfrac{\tan ^2 x}{1+\tan^2 x} =\dfrac{u^2}{1+u^2}\\ \sin 2x =\dfrac{2\tan x}{1+\tan ^2 x}=\dfrac{2u}{1+u^2}$$ $$8 \big(\dfrac{u^2}{1+u^2}\big)+3 \big(\dfrac{2u}{1+u^2}\big) =3 $$ $$8u^2+6u=3+3u^2\\ 5u^2 +6u -3=0$$ $$u=\dfrac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{5}$$

حال با جایگذاری در $(1)$ خواهیم داشت :

$$A=\dfrac{3u}{4u+3}={21\pm6\sqrt6\over25}$$