ابتدا خواسته را در $ \cos x$ ضرب وتقسیم میکنیم . خواهیم داشت :
$$A:=\dfrac{\dfrac{3\sin x}{ \cos x}}{\dfrac{4\sin x+3\cos x}{\cos x}}=\dfrac{3\tan x}{4\tan x+3} \tag{1}$$
حال از معادله زیر $\tan x$ را بدست میاوریم :
$$3\sin x +\cos x =2 \\ 9\sin^2 x+\cos ^2 x +3\sin 2x=4 \\8 \sin ^2 x+3\sin 2x-3=0$$
حال فرض کنید که $u:=\tan x$
در نتیجه با توجه به فرمول های زیر خوایهم داشت :
$$\sin^2 x=\dfrac{\tan ^2 x}{1+\tan^2 x} =\dfrac{u^2}{1+u^2}\\ \sin 2x =\dfrac{2\tan x}{1+\tan ^2 x}=\dfrac{2u}{1+u^2}$$
$$8 \big(\dfrac{u^2}{1+u^2}\big)+3 \big(\dfrac{2u}{1+u^2}\big) =3 $$
$$8u^2+6u=3+3u^2\\ 5u^2 +6u -3=0$$
$$u=\dfrac{-3 \pm 2\sqrt{6}}{5}$$
حال با جایگذاری در $(1)$ خواهیم داشت :
$$A=\dfrac{3u}{4u+3}={21\pm6\sqrt6\over25}$$
