تعداد قطر های یک n ضلعی محدب منتظم برابر است با$ \frac{n(n-3)}{2} $.اگر$3$واحد به اضلاع آن اضافه کنیم به این معنی است که$n$رابا$n+3$تعویض کنیم. تفاوت تعداد قطر ها در دو حالت برابر$36$است.یعنی$$ \frac{n(n+3)} {2} - \frac{n(n-3)}{2} =36$$که نتیجه می دهد$3n=36$یا$n=12$.
مجموع زوایای یک $n$ضلعی منتظم برابر$(2n-4)90$یاهمان$(n-2)180$است.لذا $12$ ضلعی منتظم ،مجموع زوایای آن$(24-4)90=1800$درجه است.اگر مجموع زوایا را بر تعداد اضلاع تقسیم کنیم هر زاویه آن محاسبه خواهد شد.یعنی$$ \frac{(2n-4)90}{n} $$لذا هر زاویه 12ضلعی منتظم برابر$ \frac{1800}{12} =150$درجه است.
