$ \lim_{k \to \infty }(\frac{k}{ \Gamma (1)2^{k}}+\frac{k(k-1)}{ \Gamma (2)2^{k}}+\frac{k(k-1)(k-2)}{ \Gamma (3)2^{k}}+...)=1 $

Question

تساوی زیر را ثابت کنید.

$ \lim_{k \to \infty }(\frac{k}{ \Gamma (1)2^{k}}+\frac{k(k-1)}{ \Gamma (2)2^{k}}+\frac{k(k-1)(k-2)}{ \Gamma (3)2^{k}}+...)=1 $

که $ \Gamma (n)=n! $

Answer 1

داخل پرانتز ابتدا ساده می کنیم با قرار دادن مقدار $ \Gamma $ هر جمله به ترکیب تبدیل می شود که ضرایب بسط دو جمله ای نیوتن می باشد. $$ \frac{k}{ \Gamma (1)2^k} + \frac{k(k-1)}{ \Gamma (2)2^k}+....+ \frac{k(k-1)(k-2)...(k-(k-1))}{ \Gamma (k)2^k}+0+0+. ..= \frac{1}{2^k} ( \binom{k}{1} + \binom{k}{2}+...+ \binom{k}{k} )= \frac{2^k-1}{2^k}$$ حالا با حد گیری به جواب مد نظر می رسیم