قرار دهید $$S_n=\sum_{k=1}^n\sqrt[3]{1+\frac k{n^2}}-1$$
از آنجا که $$\frac x3-\frac{x^2}{9}\leq \sqrt[3]{1+x}-1\leq \frac x3$$
(با استفاده از بسط مک لورن حول نقطه صفرمی توانید نامساوی بالا را ببینید)
بنابراین
$$\sum_{k=1}^n(\frac{k}{3n^2}-\frac{k^2}{n^4})\leq S_n\leq \sum_{k=1}^n\frac{k}{3n^2}$$
اما $\sum_{k=1}^n\frac{k}{3n^2}=\frac 1{3n^2}\frac{n(n+1)}{2}$ و $\sum_{k=1}^n(\frac{k}{3n^2}-\frac{k^2}{n^4})=\frac 1{3n^2}\frac{n(n+1)}{2}-\frac 1{n^4}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
حد دو سری اخیر برابر $\frac 16$ است لذا بنابر قضیه فشردگی $\lim_{n\to \infty}S_n=\frac 16$ .
