از تابع دایگاما $ \psi $ و ثابت اویلر-ماسکرونی $ \gamma $ استفاده می کنیم:
$ \psi (x):= \frac{ \Gamma '(x)}{ \Gamma (x)} , \gamma = \lim_{n\to \infty} ( \sum _{k=1}^n( \frac{1}{k} -Lnn)$
به کمک نمایش فوق العاده زیبا و هنری و شاهکار وایشتراس از تابع گاما می توان نتیجه گرفت که:
$ \psi (x+1)=- \gamma + \sum _{n=1}^ \infty ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+x} )$
حالا به سری مسأله برگردیم:
$a_n:= \frac{1}{5n+1} + \frac{1}{5n+2} - \frac{1}{5n+3} - \frac{1}{5n+4} $
$a_n=(\frac{1}{5n+1} - \frac{1}{5n+5} )+ (\frac{1}{5n+2} - \frac{1}{5n+5} )- (\frac{1}{5n+3} - \frac{1}{5n+5} )- (\frac{1}{5n+4}- \frac{1}{5n+5} )$
حالا سری مربوط به دنبالۀ پرانتز اول را در نظر بگیرید:
$ \sum _{n=0}^ \infty (\frac{1}{5n+1} - \frac{1}{5n+5} )= -\frac{1}{5} \sum _{n=0}^ \infty (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+ \frac{1}{5} } )=-\frac{1}{5} \sum _{n=0}^ \infty (\frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+1 -\frac{4}{5} } )$
$=-\frac{1}{5} \sum _{n=1}^ \infty (\frac{1}{n} - \frac{1}{n-\frac{4}{5} } )=-\frac{1}{5}(\psi (-\frac{4}{5}+1)+\gamma)=-\frac{1}{5}(\psi (\frac{1}{5})+\gamma)$
اگر به همین ترتیب سه پرانتز دیگر را ساده کنیم داریم:
$ \sum _{k=0}^ \infty (\frac{1}{5n+1} + \frac{1}{5n+2} - \frac{1}{5n+3} - \frac{1}{5n+4})=-\frac{1}{5}(\psi (\frac{1}{5})+\psi (\frac{2}{5})-\psi (\frac{3}{5})-\psi (\frac{4}{5}))$
$= \frac{( \sqrt{5-2 \sqrt{5} } )(\sqrt{5+2 \sqrt{5} }) \pi }{5 \sqrt{5} } (?)$
$ \Box $
