اولن توجه کنید که به کمک تجزیۀ کسرها داریم:
$ \frac{H_n}{n(n+1)^2} = \frac{H_n}{n(n+1)} - \frac{H_n}{(n+1)^2} $
حالا هر یک از این دنباله ها را ساده میکنیم:
$1): \frac{H_n}{n(n+1)}= \frac{H_n}{n} - \frac{H_n}{n+1} = \frac{H_n}{n} - \frac{H_{n+1}- \frac{1}{n+1} }{n+1}=\frac{H_n}{n} - \frac{H_{n+1}}{n+1}+ \frac{1}{(n+1)^2} $
$\Rightarrow \sum {n=1}^ \infty \frac{H_n}{n(n+1)} = \sum _{n=1}^ \infty (\frac{H_n}{n} - \frac{H{n+1}}{n+1}) + \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)^2}$
$ \Rightarrow \lim_{n\to \infty } (1- \frac{H_{n+1}}{n+1} )+ \sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)^2}=1-0$(چرا؟)$+ \zeta (2)-1= \zeta (2)$
حالا با توجه به اینکه:
$ \sum_{k=1}^ \infty \frac{H_n}{n^p} =(1+ \frac{p}{2} ) \zeta (p+1)- \frac{1}{2} \sum _{k=1}^{p-2} \zeta (k+1) \zeta (p-k) ,(p \in N,p \geq 2)$(چرا؟)
می توان سری دوم را هم ساده کرد:
$2): \frac{H_n}{(n+1)^2}= \frac{H_{n+1}- \frac{1}{n+1} }{(n+1)^2} = \frac{H_{n+1}}{(n+1)^2} - \frac{1}{(n+1)^3} $
$ \Rightarrow \sum {k=1}^ \infty \frac{H_n}{(n+1)^2} =\sum _{k=1}^ \infty \frac{H{n+1}}{(n+1)^2}-\sum _{k=1}^ \infty \frac{1}{(n+1)^2}=2\zeta (3)-1- \zeta (3)+1$
$=2\zeta (3)- \zeta (3)= \zeta (3)$
$ \Rightarrow \sum _{n=1}^ \infty \frac{H_n}{n(n+1)+2}=\sum _{n=1}^ \infty \frac{H_n}{n(n+1)}-\sum _{n=1}^ \infty \frac{H_n}{(n+1)^2}=\zeta (2)-\zeta (3)$
$ \Box $
