$$ \pi = \frac{10}{3} \sum _ {n=0} ^ \infty \frac{ (-1)^{n} }{2n+1} ( \frac{ \varphi ^{2} }{3- \varphi } )^{n+ \frac{1}{2} } $$

Question

نشان دهید عدد پی در سری زیر صدق می‌کند: $$ \pi = \frac{10}{3} \sum _ {n=0} ^ \infty \frac{ (-1)^{n} }{2n+1} ( \frac{ \varphi ^{2} }{3- \varphi } )^{n+ \frac{1}{2} } $$

Comments

حد جمله عمومی دنباله به مثبت بینهایت واگراست لذا سری همگرا نیست.

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=12447446939184060405

---

![توضیحات تصویر][1]


  [1]: https://math.irancircle.com/?qa=blob&qa_blobid=1039818873759693845

Answer 1

بیایید عبارت داده شده را تحلیل کنیم:

$$ \frac{10}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \left( \frac{\varphi^2}{3-\varphi} \right)^{n+\frac{1}{2}} $$

در اینجا، $\varphi$ نسبت طلایی است که با $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ داده می‌شود.

می‌دانیم که $\varphi^2 = \varphi + 1$، بنابراین می‌توانیم بنویسیم:

$$ \frac{\varphi^2}{3-\varphi} = \frac{\varphi+1}{3-\varphi} $$

همچنین می‌دانیم که $\varphi^2 - \varphi - 1 = 0$، بنابراین $\varphi^2 = \varphi + 1$.

همچنین می‌توانیم بنویسیم $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$، بنابراین $3-\varphi = \frac{6-1-\sqrt{5}}{2} = \frac{5-\sqrt{5}}{2}$.

سپس،

$$ \frac{\varphi^2}{3-\varphi} = \frac{\varphi+1}{3-\varphi} = \frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1}{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} = \frac{3+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{(5-\sqrt{5})(5+\sqrt{5})} = \frac{15+8\sqrt{5}+5}{25-5} = \frac{20+8\sqrt{5}}{20} = 1+\frac{2\sqrt{5}}{5} $$

فرض کنید $x = \sqrt{\frac{\varphi^2}{3-\varphi}}$. سپس عبارت داده شده به صورت زیر در می‌آید:

$$ \frac{10}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = \frac{10}{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} (x)^{2n+1} $$

ما این سری را به عنوان بسط تیلور برای $\arctan(x)$ می‌شناسیم:

$$ \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} $$

بنابراین عبارت به صورت زیر در می‌آید:

$$ \frac{10}{3} \arctan(x) = \frac{10}{3} \arctan\left(\sqrt{\frac{\varphi^2}{3-\varphi}}\right) $$

ما داریم $\frac{\varphi^2}{3-\varphi} = \frac{\varphi+1}{3-\varphi} = \frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} = \frac{3+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}} = \frac{(3+\sqrt{5})(5+\sqrt{5})}{20} = \frac{20+8\sqrt{5}}{20} = 1+\frac{2\sqrt{5}}{5} = 1+\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{5+2\sqrt{5}}{5}$

فرض کنید $x = \sqrt{\frac{\varphi^2}{3-\varphi}} = \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}$.

ما داریم $\tan(\frac{3\pi}{10}) = \sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}$.

بنابراین، $x = \tan(\frac{3\pi}{10})$.

سپس، $\arctan(x) = \arctan(\tan(\frac{3\pi}{10})) = \frac{3\pi}{10}$.

بنابراین، عبارت به صورت زیر در می‌آید:

$$ \frac{10}{3} \arctan(x) = \frac{10}{3} \cdot \frac{3\pi}{10} = \pi $$

پاسخ نهایی $\boxed{\pi}$ است.

Answer 2

$$\sum _ {n=0} ^ \infty \frac{ (-1)^{n} }{2n+1} ( \frac{ \varphi ^{2} }{3- \varphi } )^{n+ \frac{1}{2} }$$ بشدت شبیه سری تیلور برای $\tan^{-1}(x)$ است که میشود: $$\tan^{-1}(x)=\sum _ {n=0} ^ \infty \frac{ (-1)^{n} }{2n+1} (x )^{2n+1}$$ حال اگر قرار دهیم $x=( \frac{ \varphi ^{2} }{3- \varphi } )^{\frac{1}{2}}$ داریم:

$$x=( \frac{ \varphi ^{2} }{3- \varphi } )^{\frac{1}{2}} = ( \frac{ 1+\varphi }{3- \varphi } )^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{1+\sqrt{5}}{2}}{3-\frac{1+\sqrt{5}}{2}}} = \sqrt{\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}} = \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}} = \sqrt{\frac{20+8\sqrt{5}}{20}} = \sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}$$ حال اگر قرار باشد که $\pi=\frac{10}{3}\tan^{-1}(x)$ برقرار باشد

پس باید $\tan^{-1}(x)=\frac{3\pi}{10}$ برقرار باشد

پس باید $\tan(\frac{3\pi}{10})=x=\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}$ برقرار باشد

و ما میدانیم که $\tan(\frac{3\pi}{10})=\sqrt{1+\frac{2\sqrt{5}}{5}}$ (اثبات این نیز با در نظر گرفتن نیمساز یک پنج ضلعی منتظم ساده است)

پس تساوی $\pi = \frac{10}{3} \sum _ {n=0} ^ \infty \frac{ (-1)^{n} }{2n+1} ( \frac{ \varphi ^{2} }{3- \varphi } )^{n+ \frac{1}{2} }$ درست است.