این یک اتحاد بسیار پیشرفته است که شامل توابع ویژه و ضرایب دوجملهای است. برای اثبات آن، معمولاً از نمایش انتگرالی ضرایب دوجملهای و تکنیکهای آنالیز مختلط یا نظریه اعداد استفاده میشود.
بیایید ابتدا نمادها را تعریف کنیم:
- $\binom{2n}{n}$ ضریب دوجملهای مرکزی است.
- $\Gamma(z)$ تابع گاما است.
- $\varpi$ یک ثابت است که به نظر میرسد به ثابت لیمنیسکات مربوط باشد. مقدار آن به صورت زیر تعریف شده است:
$$ \varpi = \frac{1}{2\sqrt{2\pi}} \Gamma^2\left(\frac{1}{4}\right) $$
- $C$ به احتمال زیاد ثابت کاتالان است: $C = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}$.
مجموع مورد نظر:
$$ S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n}(4n+1)^3} \binom{2n}{n} $$
هدف ما نشان دادن این است که $S = \frac{\varpi}{4\sqrt{2}} \left[ C + \frac{\pi^2}{8} \right]$.
گام اول: نمایش انتگرالی $\binom{2n}{n}$
یکی از نمایشهای انتگرالی برای ضریب دوجملهای مرکزی $\binom{2n}{n}$ این است:
$$ \binom{2n}{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} (1-x^2)^n dx $$
یا
$$ \binom{2n}{n} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (1-\sin^2 \theta)^n d\theta = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} (\cos^2 \theta)^n d\theta = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos^{2n} \theta d\theta $$
با جایگذاری این در سری:
$$ S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^{2n}(4n+1)^3} \left( \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos^{2n} \theta d\theta \right) $$
$$ S = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{4^n (4n+1)^3} \cos^{2n} \theta d\theta $$
$$ S = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(4n+1)^3} \left(
\frac{\cos^2 \theta}{4} \right)^n d\theta $$
گام دوم: معرفی تابع $\text{Ti}_3(x)$
تابع انتگرال تانژانت معکوس تعمیمیافته (generalized inverse tangent integral) به صورت زیر تعریف میشود:
$$ \text{Ti}k(x) = \int_0^x \frac{\arctan(t)}{t^{1-k}} dt $$
که برای $k=3$ داریم:
$$ \text{Ti}3(x) = \int_0^x \frac{\arctan(t)}{t^{-2}} dt = \int_0^x t^2 \arctan(t) dt $$
سری تیلور برای $\arctan(t)$ برابر است با:
$$ \arctan(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{2n+1} $$
بنابراین:
$$ \text{Ti}3(x) = \int_0^x t^2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+1}}{2n+1} dt = \int_0^x \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n t^{2n+3}}{2n+1} dt $$
$$ \text{Ti}3(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \int_0^x t^{2n+3} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} \frac{x^{2n+4}}{2n+4} $$
$$ \text{Ti}3(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+4}}{(2n+1)(2n+4)} $$
این سری تا حدودی شبیه به سری موجود در انتگرال است. اما سری اصلی شامل $(4n+1)^3$ در مخرج است، نه $(2n+1)(2n+4)$.
یک رویکرد جایگزین با استفاده از $\text{Ti}_3(x)$:
یک نتیجه شناخته شده در مورد سریهای مشابه این، که ممکن است به اثبات این اتحاد کمک کند، بیان میکند که:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \binom{2n}{n}}))$$
$${(4n+1)^3} = \frac{1}{2} \int_0^1 x^2 \arctanx
