جواب نهایی برای انتگرال داده شده برابر است با:
$$
\frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \int_0^1 \log^2(1+x) x^k dx = \int_0^1 (1+x)^n \log^2(1+x) dx = I_n.
$$
با تابع تغییر متغیر $$ t = 1 + x $$ داریم:
$$
I_n = \int_1^2 t^n \log^2(t) dt.
$$
تعریف تابع
$$
J(n) = \int_0^1 (1+x)^n dx = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}.
$$
مشتقات:
$$
J'(n) = \int_0^1 (1+x)^n \log(1+x) dx,
$$
$$
J''(n) = \int_0^1 (1+x)^n \log^2(1+x) dx = 2 I_n.
$$
پس:
$$
I_n = \frac{J''(n)}{2}.
$$
از
$$
J(n) = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1},
$$
مشتقگیری دوتایی نسبت به $$n$$، خواهیم داشت:
$$
J'(n) = \frac{d}{dn}\left(\frac{2^{n+1} - 1}{n+1}\right),
\quad
J''(n) = \frac{d^2}{dn^2}\left(\frac{2^{n+1} - 1}{n+1}\right).
$$
با مشتقگیری دقیق داریم:
$$
J'(n) = \frac{(n+1)(2^{n+1} \log 2) - (2^{n+1} -1)}{(n+1)^2},
$$
و
$$
J''(n) = \frac{d}{dn} J'(n),
$$
که به صورت کامل پس از محاسبات:
$$
J''(n) = \frac{(n+1)^2 (2^{n+1} (\log 2)^2) - 2(n+1)(2^{n+1} \log 2) + 2(2^{n+1} -1)}{(n+1)^3}.
$$
در نهایت نتیجه:
$$
I_n = \frac{J''(n)}{2} = \frac{(n+1)^2 2^{n+1} (\log 2)^2 - 2(n+1) 2^{n+1} \log 2 + 2(2^{n+1} -1)}{2(n+1)^3}.
$$
این عبارت مقدار دقیق انتگرال داده شده برای هر عدد صحیح $$n \geq 0$$ است.
