$? =\frac{1}{2} \sum _ {k=0} ^n \binom{n}{k} \int _0^1log^2(1+x) x^{k} dx$

Question

مطلوب است اثبات رابطه زیر:

$ \frac{1}{2} \sum _ {k=0} ^n \binom{n}{k} \int _0^1log^2(1+x) x^{k} dx= \frac{2^n}{n+1} log^2(2)- \frac{ 2^{n+1} }{ (n+1)^{2} } (log2)+\frac{ 2^{n+1} -1}{ (n+1)^{3} } $

Comments

برای حالت $n=0,1 $ اتحاد درست نیست.

---

با اجازتون سوال رو ویرایش کردم.

---

باز هم درست نیست.سمت چپ گویاست.سمت راست گنگ.

---

این دفعه فکر کنم سوال اصلاح شد؛البته امیدوارم.

Answer 1

جواب نهایی برای انتگرال داده شده برابر است با:

$$ \frac{1}{2} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \int_0^1 \log^2(1+x) x^k dx = \int_0^1 (1+x)^n \log^2(1+x) dx = I_n. $$

با تابع تغییر متغیر $$ t = 1 + x $$ داریم:

$$ I_n = \int_1^2 t^n \log^2(t) dt. $$

تعریف تابع

$$ J(n) = \int_0^1 (1+x)^n dx = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}. $$

مشتقات:

$$ J'(n) = \int_0^1 (1+x)^n \log(1+x) dx, $$

$$ J''(n) = \int_0^1 (1+x)^n \log^2(1+x) dx = 2 I_n. $$

پس:

$$ I_n = \frac{J''(n)}{2}. $$

از

$$ J(n) = \frac{2^{n+1} - 1}{n+1}, $$

مشتق‌گیری دوتایی نسبت به $$n$$، خواهیم داشت:

$$ J'(n) = \frac{d}{dn}\left(\frac{2^{n+1} - 1}{n+1}\right), \quad J''(n) = \frac{d^2}{dn^2}\left(\frac{2^{n+1} - 1}{n+1}\right). $$

با مشتق‌گیری دقیق داریم:

$$ J'(n) = \frac{(n+1)(2^{n+1} \log 2) - (2^{n+1} -1)}{(n+1)^2}, $$

و

$$ J''(n) = \frac{d}{dn} J'(n), $$

که به صورت کامل پس از محاسبات:

$$ J''(n) = \frac{(n+1)^2 (2^{n+1} (\log 2)^2) - 2(n+1)(2^{n+1} \log 2) + 2(2^{n+1} -1)}{(n+1)^3}. $$

در نهایت نتیجه:

$$ I_n = \frac{J''(n)}{2} = \frac{(n+1)^2 2^{n+1} (\log 2)^2 - 2(n+1) 2^{n+1} \log 2 + 2(2^{n+1} -1)}{2(n+1)^3}. $$

این عبارت مقدار دقیق انتگرال داده شده برای هر عدد صحیح $$n \geq 0$$ است.