حاصل سری $\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\frac{k^2}{2}-\frac{k}{2}+1}$ را بیابید.

Question

حاصل سری (جمع اعضای یک دنباله) زیر را بیابید.

$$A=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\frac{k^2}{2}-\frac{k}{2}+1}=1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \frac{1}{16} + \frac{1}{22} +\cdots$$

تلاش من: در سری $ \sum_{k=0}^\infty 2^{-k}= 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots $ به استقراء مبرهن است $A>\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}=2$ پس باید $A$ بزرگتر از ۲ باشد؛ همچنین

$$ \frac{A}{2} = \sum _{k=1}^\infty \frac{1}{k²-k+2}= \frac{1}{2} + \sum _{k=2}^\infty\frac{1}{k²-k+2}<\frac{1}{2} + \sum _{k=2}^\infty\frac{1}{k(k-1)}= \frac{1}{2} + \lim_{n\to \infty } \sum _{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{2}+ \lim_{n\to \infty} \frac{n}{n+1} =\frac{3}{2} \Rightarrow A<3 \Longrightarrow 2<A<3 $$ اما آیا محاسبه مقدار دقیق این عبارت، ممکنه؟

Comments

@Mobin_Jame بر روی علامت مدادشکل کلیک کنید و مقایسه کنید که چه چیزی در کد فرمول‌تان برای کران پائین و بالای جمع اضافه‌کردم.

Answer 1

با نرم‌افزار Maple به شکل زیر می‌توانید این سری (جمع نامتناهی) را امتحان کنید.

sum(1/(k^2/2 - k/2 + 1), k = 1 .. infinity);

که به شما این پاسخ را می‌دهد؛

$$\frac{2\sqrt{7}\pi\tanh(\frac{\pi\sqrt{7}}{2})}{7}$$

اکنون با مهندسیِ وارونه به اینکه چرا چنین پاسخی درست است برسیم. در پیوند زیر از سایت wolfram که متعلق به نرم‌افزار Mathematica است می‌توانید یک تعداد از بسط‌های تابع $\tanh$ را ببینید.

https://functions.wolfram.com/ElementaryFunctions/Tanh/06/ShowAll.html

به یکی از آنها که به شکل زیر است دقت کنید.

$$\tanh(z)=8z\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\pi^2(2k-1)^2+4z^2}\;;\;\frac{iz}{\pi}-\frac{1}{2}\not\in\mathbb{Z}$$

بیایید ببینیم آیا می‌توان $z$ را به گونه‌ای برگزید که شکل سری سمت راست برابریِ بالا با سریِ پرسش یکسان شود.

\begin{align} \tanh(z) &= 8z\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\pi^2(2k-1)^2+4z^2}\\ &= \frac{8z}{4\pi^2}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2-k+\frac{1}{4}+(\frac{z}{\pi})^2} \end{align}

با قرار دادنِ $(\frac{z}{\pi})^2=2-\frac{1}{4}$ داریم $z=\frac{\pi\sqrt{7}}{2}$. اکنون

\begin{align} &\Longrightarrow \tanh(\frac{\pi\sqrt{7}}{2})=\frac{2\frac{\pi\sqrt{7}}{2}}{\pi^2}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2-k+2}\\ &\Longrightarrow \tanh(\frac{\pi\sqrt{7}}{2})=\frac{\sqrt{7}}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2-k+2}\\ &\Longrightarrow\frac{\pi}{\sqrt{7}}\tanh(\frac{\pi\sqrt{7}}{2})=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2-k+1} \end{align}

دیگر همه چیز آماده‌است.

\begin{align} \sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\frac{k^2}{2}-\frac{k}{2}+1} &= 2\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2-k+2}\\ &= \frac{2\pi}{\sqrt{7}}\tanh(\frac{\pi\sqrt{7}}{2}) \end{align}

و نرم‌افزار Maple یک گویا‌سازی مخرج هم انجام داده‌است، یعنی صورت و مخرج را در $\sqrt{7}$ ضرب کرده‌است. اما اگر بیشتر از این به این پرسش علاقه دارید می‌توانید در این مورد فکر کنید که چه رابطه‌ای بین پاسخ و ریشه‌های برابریِ $x^2-x+2=0$ وجود دارد.

Comments

بله جواب درسته و مقدار تقریبی اون هم
2.37365467544 میشه ممنون.
ولی فکر نمیکنم با ریشه‌های معادله x²-x+2=0 ربطی داشته باشه چون این جواب غیرجبری هست.

---

@Mobin_Jame برای تأیید پاسخ بر روی تیک ست راستش کلیک کنید و برای تشکر از پستی که برایتان مفید بوده‌است بر روی سه‌گوش رو به بالای سمت راست کلیک کنید. یک سریِ مشابه دیگر بسازید و سپس اعدادی که در پاسخ نهایی می‌بینید را با اعدادی که در ریشه‌های چندجمله‌ایِ سرشت‌نما می‌بینید مقایسه کنید.