Question

نشان دهید: $$ \lim_{n\to \infty } \frac{ \Gamma ( \frac{n+3}{2} )}{ n^{ \frac{3}{2} } \Gamma ( \frac{n}{2} ) }= \frac{1}{2 \sqrt{2} } $$ we know: $$ \Gamma ( \alpha +1)= \alpha \Gamma ( \alpha )$$

Answer 1

نشان داده شده است که:

$ \Gamma (x)= \sqrt{2 \pi } x^{x- \frac{1}{2} }e^{-x}e^{ \mu (x)}$

که در آن $ \mu (x)= \frac{ \theta }{12x} $ و $0< \theta <1$ و $ \theta $ مستقل از $x$ است.بنابراین:

$ \lim_{n\to \infty } \frac{ \Gamma ( \frac{n+3}{2}) }{n^{ \frac{3}{2} }\Gamma ( \frac{n}{2})}=\lim_{n\to \infty } \frac{( \frac{n+3}{2} )^{( \frac{n+2}{2} )}e^{- \frac{n+3}{2} }e^{ \frac{ \theta }{6(n+3)} }}{n^{ \frac{3}{2} }( \frac{n}{2} )^{( \frac{n}{2}- \frac{1}{2} )}e^{- \frac{n}{2} }e^{ \frac{ \theta }{6n} }}=\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{3}{n} )^{ \frac{n}{2} }. \frac{( \frac{n}{2} )^{ \frac{1}{2} }( \frac{n+3}{2} )}{n^{ \frac{3}{2} }}.e^{- \frac{3}{2} } \frac{e^{ \frac{ \theta }{6n}}}{e^{ \frac{ \theta }{6n}}}$

$=e^{ \frac{3}{2} } .\frac{1}{2 \sqrt{2} } .e^{- \frac{3}{2} }. \frac{1}{1} = \frac{1}{2 \sqrt{2} } $

$ \Box $

می توان نشان داد که:

$ \lim_{n\to \infty } \frac{ \Gamma ( \frac{n+k}{2}) }{n^{ \frac{k}{2} }\Gamma ( \frac{n}{2})}=2^{- \frac{k}{2} }$

به کمک کتاب ارزشمند،کوچک و پربار (تابع گاما) اثر امیل آرتین.