Question

نشان دهید که:

$$\lim_{n\to \infty } \frac{(3n-1)! n^{2} }{ 27^{n} (n!)^{3} } = \frac{1}{2 \pi \sqrt{3} }$$

Answer 1

$$"Stirling" formula :n! \sim \sqrt{2 \pi n} (\frac{n}{e} )^{n} \Longrightarrow L= \lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{2 \pi (3n-1)} ( \frac{3n-1}{e} )^{3n-1} n^{2} }{ 3^{3n} (2 \pi n)^{ \frac{3}{2} } ( \frac{n}{e} )^{3n} }= \frac{ \sqrt{2 \pi e} }{ (2 \pi )^{ \frac{3}{2} } } \lim_{n\to \infty } ( \frac{ (3n-1)^{3n- \frac{1}{2} } }{ 3^{3n} n^{3n- \frac{1}{2} } } ) = \frac{e}{2 \pi } \lim_{n\to \infty } \frac{ (1- \frac{1}{3n} )^{3n} }{ (3- \frac{1}{n} )^{ \frac{1}{2} } } = \frac{e}{2 \pi } . \frac{ e^{-1} }{ \sqrt{3} } = \frac{1}{2 \pi \sqrt{3} }$$

Comments

استدلال جالبیست. ولی توصیه من اینه از نامساویها و قضیه فشردگی استفاده کنید تا استلال منطقی باشد.
فرمول استرلینگ به صورت تساوی هم موجود است. آوردن تقریب در حد زیاد قابل قبول نیست.