نبوغ و کوشش وایرشترایس به ما نشان داد که:
\Gamma (z)= \frac{e^{- \gamma z}}{z} \prod _{n=1}^ \infty \frac{e^ \frac{z}{n} }{(1+ \frac{z}{n})}
که در آن \gamma ثابت اویلر است.حالا می توان نتیجه گرفت:
\frac{1}{ \Gamma (z)} =ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{z}{n} )e^{- \frac{z}{n} } \Rightarrow \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{z}{n} )e^{- \frac{z}{n} } = \frac{e^{- \gamma z}}{ z\Gamma (z)}
حالا توجه کنید که اگر 1,w,w^2 ریشه های سوم -1 باشند آنگاه برای عدد طبیعی n ، \frac{1}{n} , \frac{w}{n} , \frac{w^2}{n} ریشه های سوم \frac{-1}{n^3} اند لذا داریم:
(1+ \frac{1}{n^3} )=(1+ \frac{1}{n} )(1+ \frac{w}{n} )(1+ \frac{w^2}{n} )
\Rightarrow \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{1}{n^3}) = \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{1}{n})\prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{w}{n})\prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{w^2}{n})
از طرفی دیگر:
\prod _{n=1}^ \infty e^{ \frac{-1}{n} }=e^{ -\sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n} }=1=\prod _{n=1}^ \infty e^{ \frac{-w}{n} }=\prod _{n=1}^ \infty e^{ \frac{-w^2}{n} }
\Rightarrow \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{1}{n^3})= \frac{e^{- \gamma }}{1.\Gamma (1)} . \frac{e^{-w}}{w \Gamma (w)} . \frac{e^{-w^2}}{w^2 \Gamma (w^2)} = \frac{e^{-(1+w+w^2) \gamma } }{ \Gamma (1+w) \Gamma (1+w^2)} = \frac{1}{ \Gamma (1+w) \Gamma (1+w^2)}
= \frac{1}{ \Gamma (1+w) \Gamma (1-(1+w))} = \frac{sin( \pi (1+w)) }{ \pi } = \frac{sin( \frac{ \pi }{2} + \frac{ \sqrt{3} \pi }{2} i)}{ \pi } = \frac{cosh( \frac{ \sqrt{3} \pi }{2} )}{ \pi } (???)
\Box
