نبوغ و کوشش وایرشترایس به ما نشان داد که:
$ \Gamma (z)= \frac{e^{- \gamma z}}{z} \prod _{n=1}^ \infty \frac{e^ \frac{z}{n} }{(1+ \frac{z}{n})} $
که در آن $ \gamma $ ثابت اویلر است.حالا می توان نتیجه گرفت:
$ \frac{1}{ \Gamma (z)} =ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{z}{n} )e^{- \frac{z}{n} } \Rightarrow \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{z}{n} )e^{- \frac{z}{n} } = \frac{e^{- \gamma z}}{ z\Gamma (z)} $
حالا توجه کنید که اگر $1,w,w^2$ ریشه های سوم $-1$ باشند آنگاه برای عدد طبیعی $n$ ، $ \frac{1}{n} , \frac{w}{n} , \frac{w^2}{n} $ ریشه های سوم $ \frac{-1}{n^3} $ اند لذا داریم:
$(1+ \frac{1}{n^3} )=(1+ \frac{1}{n} )(1+ \frac{w}{n} )(1+ \frac{w^2}{n} )$
$ \Rightarrow \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{1}{n^3}) = \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{1}{n})\prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{w}{n})\prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{w^2}{n})$
از طرفی دیگر:
$\prod _{n=1}^ \infty e^{ \frac{-1}{n} }=e^{ -\sum _{n=1}^ \infty \frac{1}{n} }=1=\prod _{n=1}^ \infty e^{ \frac{-w}{n} }=\prod _{n=1}^ \infty e^{ \frac{-w^2}{n} }$
$ \Rightarrow \prod _{n=1}^ \infty (1+ \frac{1}{n^3})= \frac{e^{- \gamma }}{1.\Gamma (1)} . \frac{e^{-w}}{w \Gamma (w)} . \frac{e^{-w^2}}{w^2 \Gamma (w^2)} = \frac{e^{-(1+w+w^2) \gamma } }{ \Gamma (1+w) \Gamma (1+w^2)} = \frac{1}{ \Gamma (1+w) \Gamma (1+w^2)} $
$= \frac{1}{ \Gamma (1+w) \Gamma (1-(1+w))} = \frac{sin( \pi (1+w)) }{ \pi } = \frac{sin( \frac{ \pi }{2} + \frac{ \sqrt{3} \pi }{2} i)}{ \pi } = \frac{cosh( \frac{ \sqrt{3} \pi }{2} )}{ \pi } $(???)
$ \Box $
