تجزیهٔ $x^4-6x^2+1$ را بدست آورید.

Question

یکی از عامل‌های تجزیهٔ عبارت $x^4-6x^2+1$ کدام است؟

1. $x^2-2x+1$
2. $x^2+2x-1$
3. $x^2+4x-1$
4. $x^2-4x+1$

تلاش من: بنده ابتدا دو عبارت درجه دو نوشتم که ایکس دو برای هر دو عبارت دارای ضریب یک بود و ایکس و عرض از مبدأ را با ضریب مجهول نوشتم تا در انتها با توجه به عبارت داده شده و استفاده از معادله، ضرایب ایکس و عرض از مبدأ ها مشخص شوند اما این راه بسیار طولانی است و میزان خطا در آن بالاست همچنین بنده در آخر به حل نرسیدم

Comments

@Zahra Pegah گزینه ها اشکال دارند. بررسی کنید

---

بله صحیح می فرمایید
پوزش ....
گزینه دو به صورت ایکس دو  به اضافه دو ایکس منهای یک هست

---

@Zahra Pegah پس سوال را ویرایش کنید.

---

@Zahra Pegah تجزیهٔ عبارت $x^4-6x^2+1$ به‌صورت $(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)$ است. بنابراین گزینهٔ ۲ درست است.

Answer 1

به نام خدا.

تغییر متغیر می دهیم. فرض می کنیم $t=x^2$ حال عبارت را بر حسب $t$ می نویسیم.

$t^2-6t+1=0 \Longrightarrow t_1=3+2 \sqrt{2}=(1+ \sqrt{2} )^2$

که با توجه به اینکه $t=x^2$ داریم:

$x_1=1+ \sqrt{2}$

$x_2=-1- \sqrt{2}$

و همینطور داریم:

$t_2=3-2 \sqrt{2} =(1- \sqrt{2} )^2 \Longrightarrow x_3=1- \sqrt{2}$

$x_4=-1+ \sqrt{2}$

حال با $x_1,x_3$ یک معادله درجه دو و با $x_2,x_4$ یک معادله درجه دو دیگر می سازیم:

$S=1+ \sqrt{2} +1- \sqrt{2} =2$

$P=(1+ \sqrt{2} )(1- \sqrt{2} )=-1\Longrightarrow$$\bbox[yellow]{ x^2-2x-1}$

$S'=-1- \sqrt{2} -1+ \sqrt{2} =-2$

$P'=(-1- \sqrt{2} )(-1+ \sqrt{2} =-1 \Longrightarrow$$\bbox[yellow]{ x^2+2x-1}$

پس نتیجه می گیریم که:

$x^4-6x^2+1=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)$

Answer 2

توجه کنید که یک چندجمله‌ای درجهٔ چهار دارید. اگر یک چندجمله‌ای درجهٔ چهار قرار باشد تجزیه‌پذیر باشد آنگاه تجزیهٔ آن به یکی از سه حالت زیر می‌شود: ۱- ضرب چهار چندجمله‌ای درجهٔ یک، ۲- ضرب دو چندجمله‌ای درجهٔ یک و یک چندجمله‌ای درجهٔ دو، ۳- ضرب یک چندجمله‌ای درجهٔ یک و یک چندجمله‌ای درجهٔ سه، ۴- ضرب دو چندجمله‌ای درجهٔ دو.

اگر هر یک از سه حالت نخست رخ بدهد یعنی یک چندجمله‌ای‌تان دست‌کم یک عامل درجهٔ یک دارد. اما توجه کنید که یک چندجمله‌ای درجهٔ یک با ضریب‌های صحیح دقیقا یک ریشهٔ گویا دارد. و توجه کنید که ریشه‌های عامل‌های یک چندجمله‌ای ریشه‌های خود آن نیز هستند. پس یک شرط لازم برای اینکه یکی از سه حالت نخست روی دهد این است که چندجمله‌ای‌تان ریشه‌ای گویا داشته باشد. اما محک ریشهٔ گویا داشتن را به یاد آورید. عدد گویایی که بخواهد ریشهٔ یک چندجمله‌ای با ضریب‌های صحیح باشد باید صورتش ضریب جمله ثابت چندجمله‌ای و مخرجش ضریب جملهٔ پیشروی چندجمله‌ای را بشمارد. در چندجمله‌ای شما جملهٔ پیشرو $x^4$ است که ضریبش ۱ است و جمله‌ثابت $1$ است که ضریبش ۱ است. پس اگر ریشه‌ای گویا داشته باشد باید به شکل $\frac{a}{b}$ باشد که $a\mid 1$ و $b\mid 1$ پس مجموعهٔ تمام نامزدها برای این عدد برابر می‌‌شود با $\lbrace -1,1\rbrace$. اما با جایگذاری هر یک از این عددها در چندجمله‌ای‌تان به صفر نمی‌رسید. پس این ثابت می‌کند که هیچ تجزیه‌ای به سه شکل نخست (با شرط ضریب‌های صحیح) برای چندجمله‌ای‌تان وجود ندارد.

اکنون تنها حالت باقی‌مانده حالت آخر یعنی حاصلضرب دو چندجمله‌ای درجه دو است. برای بررسی این مورد، ابتدا دو چندجمله‌ای کلی برمی‌داریم که هنوز ضریب‌هایشان را نمی‌دانیم پس به جایشان پارامتر می‌گذاریم.

$$x^4-6x^2+1=(a_2x^2+a_1x+a_0)(b_2x^2+b_1x+b_0)$$

با انجام ضرب سمت راست و برابر قرار دادن ضریب‌های نظیر به دستگاه پنج برابری-شش مجهول زیر می‌رسیم.

$$\begin{cases} a_2b_2=1\\ a_2b_1+a_1b_2=0\\ a_2b_0+a_1b_1+a_0b_2=-6\\ a_1b_0+a_0b_1=0\\ a_0b_0=1 \end{cases}$$

توجه کنید که می‌توانیم ضریب پیشروی دو چندجمله‌ای را یک بگیریم چون با توجه به $a_2b_2=1$ اگر $p_1$ و $p_2$ دو چندجمله‌ای با ضریب پیشروی یک باشند که حاصلضربشان چندجمله‌ای‌تان شده‌باشد آنگاه برای هر عدد دلخواه ناصفر $c$ای داریم $(cp_1)(\frac{1}{c}p_2)$ هم برابر با چندجمله‌ایتان می‌شود و برعکس اگر $p_1$ و $p_2$ دو چندجمله‌ای که ضریب پیشرویشان الزاما یک نیست باشند که حاصلضربشان چندجمله‌ای‌تان شده‌باشد به خاطر شرط یادشده باید ضریب پیشرویشان وارون یکدیگر باشند. پس تمام چندجمله‌ای‌هایی که حاصلضربشان چندجمله‌ای‌تان شوند را می‌توان از روی مجموعه پاسخ‌هایی که ضریب پیشرویشان ۱ باشند ساخت. پس فرض $a_2=b_2=1$ را می‌افزاییم و به یک دستگاه ۴ برابری-۴ مجهول می‌رسیم. جزئیات ادامهٔ حل کردن این دستگاه را به خودتان واگذاری می‌کنم. با حل آن به یکی از سه پاسخ زیر (با مضربی از یکی از آنها) می‌رسید.

$$\begin{align} \big(x^2+(-3+2\sqrt{2})\big)\big(x^2-(3+2\sqrt{2})\big)\\ (x^2+2\sqrt{2}x+1)(x^2-2\sqrt{2}x+1)\\ (x^2+2x-1)(x^2-2x-1) \end{align}$$

که تنها آخرین گزینه دارای ضریب‌های صحیح است (البته توجه کنید که مضرب‌های آن که در شرط ضریب پیشرو ... صدق کنند نیز پاسخ هستند).

البته فرمول‌های تستی و کنکوری هم برای شکل‌های آمادهٔ تجزیهٔ برخی چندجمله‌ای‌ها هست که شاید بتوانید پیدا کنید اگر با حفظ کردن راحت‌تر هستید. راه دیگر هم این است که چندجمله‌ای آمده در متن پرسش را بر چندجمله‌ای‌های آمده در گزینه‌ها تقسیم کنید و اگر باقیمانده صفر شد نتیجه بگیرید که گزینهٔ متناظر یک عامل است.

Comments

@AmirHosein عالی، سپاس از لطفی که در حقم کردید.