$x^2 - y^2 + 5y = 5$ و $xy + y^2 + x = 3$. مقدار x و y را بدست آورید.

Question

اگر :

$$x^2 - y^2 + 5y = 5$$ $$xy + y^2 + x = 3$$

مقدار x , y را بدست آورید.

• از صحیح بودن جواب ها اطلاعی ندارم.

Answer 1

$$x= \frac{3-y^2}{y+1} \Rightarrow x^2= \frac{ (3-y^2)^{2} }{(y+1) ^{2} } $$

$x^2=y^2-5y+5$

با مساوی قرار دادن دو طرف تساوی های بالا:

$ (y^2-5y+5)(y^2+2y+1)=9-6y^2+y^4 $

با ساده و مرتب کردن داریم:

$-3y^3+2y^2+5y-4=0$

مجموع ضرایب صفر است پس:

$(y-1)(-3y^2-y+4)=0 \Rightarrow (y-1)^{2}(-3y-4)=0 $

که در نتیجه یک ریشه مضاعف $$y=1 $$ و ریشه $ y=-\frac{4}{3} $ دارد و به این ترتیب این دو منحنی نقطه مماس $(1,1)$ و برخورد $( -\frac{11}{3}, -\frac{4}{3} )$ خواهند داشت.

Comments

ممنون از @Danial Rube . با توجه به اینکه سوال مربوط به دبیرستان هست این نکته رو کمی توضیح بدم که اگر در یک معادله درجه 3، مجموع ضرایب صفر باشه یکی از ریشه ها برابر 1 خواهد بود. به عبارتی، معادله بر (y-1) بخشپذیر خواهد بود. پس می تونیم معادله درجه سوم رو بر (y-1) تقسیم کنیم و به یک عبارت درجه 2 برسیم که تمام رشته های تجربی و انسانی و ریاضی در دبیرستان روش حلش رو بلدند.