احتمال انتخاب دو مهره و سپس دو مهره دیگر از شش مهره با شمارههای ۱ تا ۶ در صورتی که مهره با شماره ۲ خارج شده باشد

Question

شش مهره با شماره های ۱ تا ۶ در ظرفی قرار دارند.دو مهره با هم بیرون می آوریم و بدون جای گذاری، دو مهره دیگر خارج می کنیم. با کدام احتمال مهره شماره ۲ خارج شده است؟

تلاش من: بنده برای محاسبه تعداد کل حالات به صورت زیر عمل کردم: $ \binom{۶}{۲}×\binom{۴}{۲}=90 $

سپس برای محاسبه تعداد حالات مطلوب به صورت زیر عمل کردم: $۱ × \binom{۵}{۱}× \binom{۴}{۲} ×۲ = ۶۰ $

و در نهایت به $ \frac{۲}{۳} $ رسیدم

اما راه حل کتاب به صورت زیر بود: $ \frac{ \binom{۵}{۳} }{ \binom{۶}{۴} } = \frac{۲}{۳} $

با اینکه در نهایت به یک حل رسیده ایم اما با توجه به راه حل ها می خواهم بدانم آیا روش بنده اشتباه است؟ ضمن اینکه بنده روش کتاب را متوجه نمی شوم چرا که برای تعداد حالات مطلوب دو مرحله انتخاب را در نظر نگرفته و این برای بنده غیر قابل درک است. با تشکر

Comments

نحوه محاسبه تعداد حالت مطلوب در شیوه خودتان را بیشتر توضیح دهید در حاصل ضرب عامل های 1 و2 و ترکیبات چگونه بدست آمد؟

---

بنده طبق اصل ضرب پیش رفتم.
به این صورت که عدد 1 برای وجود مهره شماره 2 قرار داده شده و سپس ما باید از پنج مهره باقی مانده یکی انتخاب کنیم تا یک مرحله کامل گردد.
سپس در مرحله بعد باید دو مهره از چهار مهره باقی مانده انتخاب کنیم.
در نهایت دو مرحله مذکور می توانند با هم جا به جا شوند و برای همین ضرب در 2 کرده ام.
با تشکر

---

اینطوری متوجه شدم که عامل 2 برای اینست که دو مرحله بود. پس اگر سه مرحله بود ضرب در 3 می شد درست متوجه شدم؟
اگر در یک مرحله اول 2 انتخاب ودرمرحله دوم 3 انتخاب داشته باشیم بازم باید در 2 ضرب کنیم.
بنظرم شیوه شما در حالت کلی درست نیست.
بنظرم مهره 2 یا در مرحله اول است یا در مرحله دوم  پس مجموع آنها جواب می باشد یعنی
اگر مهره 2 در مرحله اول باشه
 $$1×\binom{5}{1 } × \binom{4}{2} =30$$
اگر مهره 2در مرحله دوم باشه
$$ \binom{5}{2} ×1× \binom{3}{1} =30
$$
بنابراین تعداد مطلوب 60 می باشه که اتفاقا با عدد شما برابر است.(البته این به شیوه شماست که ترتیب درهر مرحله مهم است. روش کتاب بهتر است.)
شیوه کتاب:
انتخاب دو مرحله معادل این است که یک  مرحله  چهارتایی انتخاب کردیم بنابراین تعداد کل انتخاب همان ترکیب 6 به 4 ا‌ست و تعداد حالت مطلوب این است که یکی از بین چهار تا 2 باشه پس 3 انتخاب دیگر از 5تای دیگر است یعنی ترکیب 5 به 3.

---

amir7788@ ممنون از توضیحتون
بیانتون باعث شد روش کتاب را متوجه بشوم

بنده در روش خودم نکته ای که شما متذکر شدید رو رعایت کردم برای همین در بخش اول یک از پنج تا رو انتخاب کردم و در بخش بعد دو تا از چهار تا .....
دو تا از چهارتا برای اینکه مهره شماره 2 و یک مهره دیگر برداشته شده و ما حالا چهار مهره داریم که می خواهیم از آن ها دو تا را انتخاب کنیم

بسیار سپاسگزارم ان شاءالله سلامت و موید باشید

Answer 1

زمانی که مهره ای را خارج می کنیم، احتمال این مهره مورد نظرمان را خارج کرده باشیم \frac{۱}{۶} است. حال اگر چهار مهره خارج کرده باشیم ، این احتمال ضرب در ۴ می شود. پس جواب \frac{۴}{۶} همان \frac{۲}{۳} است. (به همین راحتی)