کمترین مقدار می تواند 1 یا 2 یا ...10 باشد برای بدست آوردن تابع احتمال ، احتمال هر یک را بدست می آوریم اولا $n(S)=10^{4} $
الف)$X=1$: پس باید در یکی از موارد حداقل یکی از مهره ها دارای شماره 1 باشد. ابتدا متمم آن را می یابیم یعنی هیچکدام 1 نیاید که برابر است با $ 9^{4} $ حالت لذا اینکه حداقل یک بار یک بیاید برابر است با
$p(X=1)=1- \frac{9^{4}}{10^{4}} $
ب)$X=2$: پس باید در یکی از موارد مهره ای با شماره 2 خارج شود و در بقیه حالات مهره ها غیر از 1 هر مهره ای بیاید قبول است.
پس مثل این است که در بین مهره های 2 تا 10 حد اقل 1 بار عدد 2 بیاید باید مستقیم تعداد حالات را بشماریم
1-اینکه دقیقا یک بار 2 بیاید تعداد حالات برابر است با $4 \times 8^{3} $
2- دقیقا دو بار 2 بیاید تعدا حالات برابر است با $6 \times 8^{2} $
2- دقیقا سه بار 2 بیاید تعدا حالات برابر است با $4 \times 8 $
2- دقیقا چهربار بار 2 بیاید تعدا حالات برابر است با $1 $
پس داریم
$p(X=2)= \frac{4 \times 8^{3}+6 \times 8^{2}+4 \times 8+1}{10^{4}}= \frac{9^{4}-8^{4}}{10^{4}}$
ب)$X=3$: پس باید در یکی از موارد مهره ای با شماره 3 خارج شود و در بقیه حالات مهره ها غیر از 2و1 هر مهره ای بیاید قبول است.
پس مثل این است که در بین مهره های 3 تا 10 حد اقل 1 بار عدد 3 بیاید باید مستقیم تعداد حالات را بشماریم
-اینکه دقیقا یک بار 3 بیاید تعداد حالات برابر است با $4 \times 7^{3} $
2- دقیقا دو بار 3 بیاید تعدا حالات برابر است با $6 \times 7^{2} $
2- دقیقا سه بار 3 بیاید تعدا حالات برابر است با $4 \times 7 $
2- دقیقا چهربار بار 3 بیاید تعدا حالات برابر است با $1 $
پس داریم
$p(X=2)= \frac{4 \times 7^{3}+6 \times 7^{2}+4 \times 7+1}{10^{4}}= \frac{8^{4}-7^{4}}{10^{4}} $
اگر این روند را ادامه بدهیم داریم
$ p(X=k)=\frac{(10-k+1)^{4}-(10-k)^{4}}{10^{4}} $
و به وضوح مجموع احتمالات هم $1$ می شود.
