از ظرفی که شامل ۲۰ توپ از شماره های ۱ تا ۲۰ است سه توپ را به تصادف و بدون جایگذاری انتخاب می کنیم.....

Question

سه توپ را به تصادف و بدون جایگذاری از ظرفی که شامل$۲۰$توپ از شماره های$۱$ تا $۲۰$ است انتخاب می کنیم اگر شرط بندی کنیم که حداقل یکی از توپ های انتخابی عددی بزرگتر یا مساوی $۱۷$ است . احتمال برد در این شرط بندی چقدر است؟ با سلام. چون متغییر تصادفی بود من به صورت زیر نوشتم : $p(X \geq 17) = p ( X=17 یا X=18 یا X=19 یا X=20)$مشکلم اینه نمی دونم برای مثلا $X=17$چه طور بنویسم . یعنی باید بنویسم یکی از بین ۱۷ و ۱۸ و ۱۹ و ۲۰ و دوتا از بین ۱ تا ۱۶ و بعد برای $X=18$یکی کم کنم چون بدون جایگذاری هست؟؟؟ ممنون میشم راهنمایی ام کنید.

Answer 1

توی برداشتن سه توپ از بیست توپ دو حالت کلی وجود داره :

1. یا هیچ کدومشون بزرگتر یا مساوی 17 نیست
2. یا حداقل یکیشون این شرایط رو داره

بنابراین برای دست یافتن به جواب کل حالات رو از حالت اول کم میکنیم . کل حالات برابره با ${20 \choose 3}$ و اگر قرار باشه هیچ کدومشون شرایط مسئله رو نداشته باشن یعنی سه توپ انتخابی از 16 توپ باقیمونده باشن تعداد حالاتش میاد ${16 \choose 3}$ و به این ترتیب ${20 \choose 3}-{16 \choose 3}=580$ حالت مطلوب وجود داره . باتوجه به اینکه مسئله احتمال برد رو خواسته پاسخ برابره با ${580 \over {20 \choose 3}}={580 \over 1140}={29 \over 57}$