Question

در جعبه ای ۴ توپ سفید و ۴ توپ سیاه وجود دارد. از این جعبه به تصادف تعدادی تصادفی توپ بدون جایگذاری برمی‌داریم. احتمال اینکه تعداد توپهای سفید و سیاه انتخاب شده برابر باشند، کدام است؟

$1) \frac{187}{280} $

$2) \frac{93}{280} $

$3) \frac{58}{127} $

$4) \frac{69}{127} $

Answer 1

به $8$ حالت می توان تعدای تصادفی توپ از جعبه برداشت.برای هر $1 \leq i \leq 8$ فرض کنید که $X_i$ پیشامد این باشد که از جعبه $i$ توپ برداشته شود.چون این پیشامدها تصادفیست پس:

$ \forall 1 \leq i \leq 8:p(X_i)= \frac{1}{8} $

حالا فرض کنید که $A$ پیشامد این باشد که تعداد توپهای مشکی و تعداد توپ های سفید برداشته شده با هم برابر باشند.بنا به فرمول بیز و احتمال شرطی:

$p(A)= \sum _{i=1}^8p(A \cap X_i)=\sum _{i=1}^8p(X_i)p(A | X_i)$

$= \frac{1}{8} \times (0+ \frac{ \binom{4}{1} \binom{4}{1} }{ \binom{8}{2} } +0+ \frac{ \binom{4}{2} \binom{4}{2} }{ \binom{8}{4} } +0+ \frac{ \binom{4}{3} \binom{4}{3} }{ \binom{8}{6} } +0+ \frac{ \binom{4}{4} \binom{4}{4} }{ \binom{8}{8} } )$

$= \frac{1}{8} \times (\frac{4}{7} + \frac{36}{70}+ \frac{4}{7} +1)= \frac{1}{8} \times ( \frac{8}{7} + \frac{36}{70} +1)$

$ \frac{1}{8} \times ( \frac{80+36+70}{70} )= \frac{1}{8} \times \frac{186}{70} = \frac{1}{4} \times \frac{93}{35}= \frac{93}{280}$

$ \Box $

بنابراین گزینه $2$ درست است.