به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
0 امتیاز
787 بازدید
در دانشگاه توسط Blue (13 امتیاز)

در جعبه ای ۴ توپ سفید و ۴ توپ سیاه وجود دارد. از این جعبه به تصادف تعدادی تصادفی توپ بدون جایگذاری برمی‌داریم. احتمال اینکه تعداد توپهای سفید و سیاه انتخاب شده برابر باشند، کدام است؟

1) \frac{187}{280}

2) \frac{93}{280}

3) \frac{58}{127}

4) \frac{69}{127}

مرجع: سوال ۷۰ ارشد ۹۹

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,537 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

به 8 حالت می توان تعدای تصادفی توپ از جعبه برداشت.برای هر 1 \leq i \leq 8 فرض کنید که X_i پیشامد این باشد که از جعبه i توپ برداشته شود.چون این پیشامدها تصادفیست پس:

\forall 1 \leq i \leq 8:p(X_i)= \frac{1}{8}

حالا فرض کنید که A پیشامد این باشد که تعداد توپهای مشکی و تعداد توپ های سفید برداشته شده با هم برابر باشند.بنا به فرمول بیز و احتمال شرطی:

p(A)= \sum _{i=1}^8p(A \cap X_i)=\sum _{i=1}^8p(X_i)p(A | X_i)

= \frac{1}{8} \times (0+ \frac{ \binom{4}{1} \binom{4}{1} }{ \binom{8}{2} } +0+ \frac{ \binom{4}{2} \binom{4}{2} }{ \binom{8}{4} } +0+ \frac{ \binom{4}{3} \binom{4}{3} }{ \binom{8}{6} } +0+ \frac{ \binom{4}{4} \binom{4}{4} }{ \binom{8}{8} } )

= \frac{1}{8} \times (\frac{4}{7} + \frac{36}{70}+ \frac{4}{7} +1)= \frac{1}{8} \times ( \frac{8}{7} + \frac{36}{70} +1)

\frac{1}{8} \times ( \frac{80+36+70}{70} )= \frac{1}{8} \times \frac{186}{70} = \frac{1}{4} \times \frac{93}{35}= \frac{93}{280}

\Box

بنابراین گزینه 2 درست است.

...