از سه شی به ترتیب ۴ و ۳ و ۷ واحد داریم. دو شی بدون جایگذاری برمی داریم. احتمال اینکه جمع تعداد شی های ۲ و ۳ دست کم ۲ باشد را بیابید.

Question

در یک کتابخانه ۴ کتاب ریاضی مشابه، ۳ کتاب آمار مشابه، و ۵ کتاب فیزیک مشابه قرار دارد. ۲ کتاب را تصادفی و بدون جایگذاری برمی‌داریم. اگر متغیر تصادفی $X$ نشان‌دهندهٔ تعداد کتاب‌های فیزیک و متغیر تصادفی $Y$ نشان‌دهنده تعداد کتاب‌های آمار در بین کتاب‌های برداشته باشند، مطلوب است محاسبهٔ $P(2\leq X+Y)$.

Comments

@nazli تلاش خودتان چه بوده‌است؟

---

@amirHosein من حقیقتش متوجه چیزی که سوال میخواد نمیشم، وقتی تعداد هر کتاب و داده، و گفته که فقط ۲ تا انتخاب میکنیم، منظور از اینکه جمع دو نوع از کتاب ها حداقل ۲ بشه یعنی چی؟

---

@nazli دست‌کم دو تا از دو تا یعنی دقیقا دو تا. پرسش‌تان هم‌ارز با این هم هست که هیچ یک از دو کتاب برداشته‌شده ریاضی نبوده‌باشند. با روش‌های گوناگونی می‌توانید این پرسش را حل کنید.

---

@AmirHosein آها متوجه شدم خیلی ممنون. یعنی در واقع میشه انتخاب ۲ از ۸

Answer 1

برای اینکه نام‌گذاری پرسش سردرگرم‌تان نکند بیایید ترتیب یاد کردن کتاب‌ها را مطابق با نام‌گذاری انتخاب شده برای متغیرهای تصادفی انجام دهیم.

۵ کتاب فیزیک، ۳ کتاب آمار، ۴ کتاب ریاضی.

از این ۱۲ کتاب ۲ کتاب به تصادف برمی‌داریم. تعداد کتاب‌های فیزیک در بین این ۲ کتاب برداشته شده یک عدد تصادفی از مجموعهٔ $\lbrace 0,1,2\rbrace$ می‌تواند باشد. این کمیت تصادفی را متغیر تصادفیِ $X$ بنامید. به روش مشابه دو متغیر تصادفی $Y$ و $Z$ که تعداد کتاب‌های آمار و ریاضی برداشته شده هستند تعریف کنید که اینها نیز مجموعهٔ مقدارهایشان $\lbrace 0,1,2\rbrace$ است. توجه کنید که اگر تعداد کتاب‌های یک موضوع کمتر از تعداد کتاب‌های برداشته شده می‌بود آنگاه مجموعهٔ مقدارهایشان ممکن بود متفاوت باشد و الزامی ندارد برابر با صفر تا کل تعداد کتاب‌های گزینش شده باشند.

برای هر یک از این متغیرهای تصادفی می‌توانید تابع پخش انباشتگی (توزیع چگالی) بنویسید. یعنی چه؟ برای نمونه تابع توزیع انباشتگیِ $X$ را با $f_X$ نمایش دهید. این تابع دامنهٔ سه‌عضوی دارد (یا می‌توانید بر هر مقدار حقیقی‌ای غیر از این سه عدد مقدارش را صفر بگوئید). اگر $i$ عددی از بین ۰ و ۱ و ۲ باشد، آنگاه $f_X(i)$ یعنی احتمال اینکه $i$تا کتاب فیزیک در دست‌مان باشد. به چند حالت $i$ کتاب فیزیک و $2-i$ کتاب نافیزیک می‌توان گزید؟ $\binom{5}{i}\binom{12-5}{2-i}$. اما این احتمال نیست (دیدگاه آخرتان)! احتمال یک عدد بین صفر و یک است! احتمال مورد نظر از تقسیم عدد بالا بر تعداد کل حالت‌های انتخاب ۲ کتاب از تمام گزینه‌های موجود یعنی $\binom{12}{2}$ بدست می‌آید. پس داریم

$$f_X(x)=P(X=x)=\begin{cases} \frac{\binom{5}{i}\binom{7}{2-i}}{\binom{12}{2}} & ;\; x\in\lbrace0,1,2\rbrace\\ 0 & ;\; x\not\in\lbrace0,1,2\rbrace \end{cases}$$

می‌توانید مقدارها را کسری نگه دارید یا اعشاری کنید. در زیر کد محاسبهٔ این سه تابع پخش انباشتگی در نرم‌افزار Maple آورده‌شده‌اند.

for i from 0 by 1 to 2 do
evalf(binomial(5,i)*binomial(7,2-i)/binomial(12,2));
end do;
for i from 0 by 1 to 2 do
evalf(binomial(3,i)*binomial(9,2-i)/binomial(12,2));
end do;
for i from 0 by 1 to 2 do
evalf(binomial(4,i)*binomial(8,2-i)/binomial(12,2));
end do;

نتیجه در جدول زیر نمایش داده شده‌است.

$$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline i & f_X(i) & f_Y(i) & f_Z(i)\\ \hline 0 & 0.3181818182 & 0.5454545455 & 0.4242424242 \\ \hline 1 & 0.5303030303 & 0.4090909091 & 0.4848484848 \\ \hline 2 & 0.1515151515 & 0.0454545455 & 0.0909090909 \\ \hline \end{array}$$

البته نیاز به محاسبهٔ همهٔ اینها ندارید، صرفا همه چیز را می‌گذارم تا با مفاهیم تمرین کنید. برای نمونه توجه کنید که جمع هر ستون برای تابع‌های انباشتگی ۱ می‌شود.

پرسش چه می‌خواهد؟ یک متغیر تصادفی جدید تعریف شده‌است. توجه کنید که $X+Y$ جمع دو عدد نیست! متغیر تصادفی یک عدد نیست! متغیرِ تصادفیِ $X+Y$ به شکل زیر تعریف می‌شود. تعدادِ کتاب‌های فیزیک و آماری که در دست‌مان است. این متغیر تصادفی نیز دارای مجموعه مقدار $\lbrace 0,1,2\rbrace$ است. اما مقدار تابع انباشتگی‌اش در هر نقطه برابر با جمع مقدار انباشتگی تک تک $X$ و $Y$ در همان نقطه نیست! یعنی $f_{X+Y}(i)=f_X(i)+f_Y(i)$ الزاما درست نیست. پس چگونه آن را محاسبه کنیم؟ خیلی ساده. روش یک: به جای دسته‌بندیِ «۵ فیزیک، ۳ آمار، ۴ ریاضی» می‌توانید از دسته‌بندیِ «۸ فیزیک و آمار، ۴ ریاضی» استفاده کنید و سپس از فرمول مشابهی که برای تک تک $f_X$ و غیره استفاده کردیم استفاده کنید. روش دو: از جمع استفاده کنید. یعنی

$$\begin{align} f_{X+Y}(i) &= P(X+Y=i)\\ &= P\big((X=0,Y=i),(X=1,Y=i-1),\dots,(X=i,Y=0)\big)\\ &= \sum_{j=0}^iP(X=j,Y=i-j)\\ &= \sum_{j=0}^i\frac{\binom{5}{j}\binom{3}{i-j}\binom{4}{2-i}}{\binom{12}{2}} \end{align}$$

اکنون اینکه $X+Y$ دست‌کم (حداقل) ۲ شود زمانی که مجموعهٔ مقدارهای ممکن برایش ۰ و ۱ و ۲ هستند یعنی چه؟ یعنی اینکه دقیقا ۲ شود. پس شما $f_{X+Y}(2)$ را می‌خواهید. در واقع در این مثال $P(X+Y\geq 2)=P(X+Y=2)$. می‌توانید دستی حساب کنید یا با کمک نرم‌افزار. در زیر کد نرم‌افزار Maple گذاشته‌شده‌است.

for i from 0 by 1 to 2 do
evalf(add(binomial(5,j)*binomial(3,i-j)*binomial(4,2-i)/binomial(12,2),j=0..i));
end do;

با جدول نیز در زیر نمایش داده شده‌است.

$$\begin{array}{|l|l|} \hline i & f_{X+Y}(i)\\ \hline 0 & 0.0909090909 \\ \hline 1 & 0.4848484848 \\ \hline 2 & 0.4242424242 \\ \hline \end{array}$$

پس پاسخ $\frac{14}{33}$ یا همان $0.\overline{42}$ می‌شود. البته توجه کنید که $X+Y=2$ زمانی که کل کتاب‌های گزیده‌شده ۲ تا هستند، هم‌ارز با $Z=0$ نیز است که در جدول پیش‌تر دیدید. پس در همین پست چند روش برای محاسبهٔ مقدار خواسته‌شده‌تان می‌بینید که البته برای حل پرسش، حساب کردن یکی از این کسرهای مربوطه کفایت می‌کند.

Answer 2

به بیان دیگر

$1-P(X+Y< 2)=1-P(X+Y \leq 1)=1-P (X+Y=0)-P(X+Y=1)$

یعنی اینکه از کل دوتای انتخابی وقتی هیچکدام فیزیک وآمار نباشند(فقط ریاضی باشند) را نداشته باشیم یا یکی از میان آماروفیزیک و دومی از ریاضی باشد را نیزنداشته باشیم به این ترتیب:

$$\color{red}{P(X+Y \geq 2)=1- \frac{ \binom{8}{0} \binom{4}{2}+\binom{8}{1} \binom{4}{1}}{ \binom{12}{2} }=1- \frac{19}{33}=\frac{14}{33}=0/ \overline{42} }$$