آمار احتمال : برداشت توپ از ظرف توسط شیر یا خط بودن سکه

Question

ظرف الف 5 توپ سفید و 7 توپ سیاه دارد . در ظرف ب نیز 3 توپ سفید و 12 توپ سیاه قرار دارد . سکه ایی را پرتاب کرده اگر شیر ظاهر شود یک توپ از ظرف الف و اگر خط ظاهر شود یک توپ از ظرف ب انتخاب میکنیم . فرض کنید که توپ انتخاب شده سفید باشد ، احتمال اینکه سکه خط آمده باشد چقدر است؟ ( با راه حل )

الف ) 0.29 ب) 0.32 ج)0.27 د)0.35

Answer 1

ابتدا باید احتمال انتخاب یک توپ سفید از ظرف الف و بعد احتمال انتخاب آن توپ سفید از ظرف ب محاسبه شود.

احتمال انتخاب یک توپ سفید از ظرف الف تعداد توپ هادر ظرف الف و ب / تعداد توپ سفیددر ظرف الف$$ \frac{5}{5+7} = \frac{5}{12} $$

حال باید احتمال اینکه توپ سفید از ظرف ب انتخاب شود را به شرطی که سکه خط آمده باشد، محاسبه کنیم. برای این منظور از فرمول بیز استفاده می‌کنیم:

$P(سکه خط | توپ سفید) = P(توپ سفید | سکه خط) × P(سکه خط) / P(توپ سفید)$

احتمال سکه خط آمده باشد وقتی که توپ سفید انتخاب شده است، برابر است با احتمال اینکه توپ سفید از ظرف ب انتخاب شود و سکه خط آمده باشد، تقسیم بر احتمال انتخاب هر توپ سفید از هر دو ظرف:

$P(سکه خط | توپ سفید) = P(توپ سفید از ظرف ب | سکه خط) × P(سکه خط) / (P(توپ سفید از ظرف الف) × P(سکه شیر) + P(توپ سفید از ظرف ب) × P(سکه خط))$

احتمال انتخاب یک توپ سفید از ظرف ب

$ \frac{3}{3+12} = \frac{1}{5} $

احتمال سکه خط آمده باشد = احتمال شیر آمدن سکه برابر $ \frac{1}{2} $

احتمال انتخاب یک توپ سفید از ظرف الف برابر$$ \frac{5}{5+7} = \frac{5}{12} $$

بنابراین:

$$P(سکه خط | توپ سفید) $$=$$ (1/5) × (1/2) / ((5/12) × (1/2) + (1/5) × (1/2)) = 6/17$$

بنابراین، احتمال اینکه سکه خط آمده باشد وقتی که توپ انتخاب شده سفید است، حدود$ 0.35 $یا$ 35$ درصد است. / علامت خط کسری است.