اعداد $ x^{}= 3^{a-2b} $ ، $ y= a^{2a+b} $ و $z= 27^{a-b} $ در رابطه $ y^{2}=xz $ صدق می کنند.نسبت a به روی b؟

Question

اعداد $ x^{}= 3^{a-2b} $ ، $ y= a^{2a+b} $ و $z= 27^{a-b} $ در رابطه $ y^{2}=xz $ صدق می کنند.در این صورت رابطه a و b چگونه است؟ (a,b نامساوی صفر)

تلاش من: $ a^{4a+2b}= 3^{4a-5b} $ سپس: $ a^{4a}× 3^{-4a}= a^{-2b}× 3^{-5b}$ لذا دو جواب متفاوت خواهند داشت که با توجه به مطالب کتاب هر دو جواب غلط است: یکی به صورت $ \frac{-1}{2} $ و دیگری به صورت $ \frac{5}{4} $ بنده ضمن اینکه می خواهم حل درست را بدانم، باید بدانم اشتباه بنده در کجا بوده؟؟ با تشکر

Comments

«تلاش شما::
$ a^{4a+2b}= 3^{4a-5b}  $
سپس:
$ a^{4a}× 3^{-4a}= a^{-2b}× 3^{-5b}$»
تا اینجا عبارات بدست آوردید، اما نمی توان نتیجه گرفت که $a^{4a} = a^{-2b}  $ یا$ 3^{-4a}=  3^{-5b}$زیرا در صورت درست بودن باید جواب بدست آورده در معادله 1 یا 2 باید صدق کند که اینطور نیست. واز این نمی توان نتیجه گرفت که جواب ندارد مثلا
$3×4=2×6$

اما
این سوال اشتباه است چون با انتخاب a=3 و b=0  داریم
$$     x=3^3,y=3^6,z=27^3=3^9    \Rightarrow xz=y^2 =3^{12}$$
اما  نسبت aبه  bتعریف نشده است.

---

amir7788@ ممنون از وقتی که گذاشتید

متوجه اشتباهم شدم
در ادامه می خواستم بدانم چگونه به a مساوی ۳ و b مساوی ۰ رسیدید؟
خیلی خیلی ممنون

---

@Zhara Pegah با توجه به اینکه پایه های x  و z عدد 3 می باشه، a را 3 گرفتم با مساوی قرار دادن توانها b صفر بدست می آید.

---

سلام
ممنون از وقتی که گذاشتید
اما در صورت سوال ذکر شده که a  و b صفر نمی باشد

Answer 1

با انتخاب $a = 3^{n}$، جایی که $n$ یک عدد حقیقی هست، و بازنویسی معادله $a^{4a+2b} = 3^{4a-5b}$، داریم:

$3^{n(4a+2b)} = 3^{4a-5b}$ (1)

از (1) به سادگی نتیجه می گیریم که $ \frac{a}{b} =-\frac{(2n+5)}{(4n-4)}$. بنابراین، بی نهایت جواب برای معادله مذکور وجود دارد. توجه کنید که نسبت $\frac{a}{b}$ تعریف نشده است برای $n=1$ یا معادل آن یعنی $a=3$.

چند تا از جواب های این سوال:

$(n,a,b) = (0,1,\frac{4}{5})$, $(n,a,b) = (-1,\frac{1}{3},\frac{8}{9})$