عبارت $ \sqrt[]{3+ \sqrt{4-2 \sqrt{3} } }- \frac{ \sqrt{6} }{2} $ را ساده کنید.

Question

عبارت زير را ساده كنيد!!تشكر $$ \sqrt[]{3+ \sqrt{4-2 \sqrt{3} } }- \frac{ \sqrt{6} }{2} $$

Answer 1

از دو رابطه ی زیر استفاده میکنیم: $( \sqrt{3}+1 )^{2} =4+2 \sqrt{3}$ و $( \sqrt{3}-1 )^{2} =4-2 \sqrt{3}$

با توج ه به رابطه ی آخری داریم:

$$ \sqrt{3+ \sqrt{( \sqrt{3}-1 )^{2} } }- \frac{ \sqrt{6} }{2} = \sqrt{3+ \sqrt{3}-1 } - \frac{ \sqrt{6} }{2} $$

حال طرفین را در $ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} $ ضرب میکنیم و رادیکال دو در صورت را به داخل رادیکال ها میبریم: $$ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} ( \sqrt{2+ \sqrt{3} } - \frac{ \sqrt{6} }{2} )= \frac{1}{\sqrt{2}} (\sqrt{2} \sqrt{2+ \sqrt{3} } - \frac{ \sqrt{2}\sqrt{2 \times 3} }{2} )=$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{4+ 2 \sqrt{3} } - \frac{ \sqrt{2}\sqrt{2 }\sqrt{3} }{2} )= \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{( \sqrt{3}+1 )^{2} } -\sqrt{3}) = $$ $$ \frac{1}{\sqrt{2}} ( \sqrt{3}+1 -\sqrt{3}) = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ با گویا کردن مخرج جواب برابر $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ می شود.

Answer 2

اين عبارت را ميخواهيم به روش راديكال هاي مركب ساده كنيم

ياد آوري

$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } + \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$

$$ \sqrt{A- \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } - \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$

$$C= \sqrt{ A^{2}-B } $$

پس

$$ \sqrt{4-2 \sqrt{3} }= \sqrt{4- \sqrt{12} }= \sqrt{3}-1 $$

حال جايگذاري ميكنيم

$$ \sqrt{3+ \sqrt{3} -1} = \sqrt{2+ \sqrt{3} } $$

و دوباره از راديكال هاي مركب كمك ميگيريم..

$$ \sqrt{2+ \sqrt{3} } = \frac{ \sqrt{6} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} $$

ودر نهايت با جايگذاري عبارت ساده ميشود

$$ \sqrt[]{3+ \sqrt{4-2 \sqrt{3} } }- \frac{ \sqrt{6} }{2}= \frac{ \sqrt{6} }{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2} - \frac{ \sqrt{6} }{2} = \frac{ \sqrt{2} }{2} $$

Comments

@saderi7
اگر امكان دارد رابطه بالا را اثبات كنيد

---

@arvin
لطف كنيد سوال رو به صورت عمومي بپرسيد كه همه بتو نن نظر بدهند