$x_{1}, x_{2}= \sqrt{4 \pm \sqrt{10+2 \sqrt{5} } }$

Question

سلام.. معادله درجه دومي تشكيل دهيد كه ريشه هاي آن به ترتيب $x_{2} , x_{1}$

$x_{1}, x_{2}= \sqrt{4 \pm \sqrt{10+2 \sqrt{5} } }$

Answer 1

معادله درجه دومي كه $x_{1} , x_{2}$ريشه هاي آن باشدبا توجه به$\begin{cases}S= x_{1} + x_{2}  & \\P= x_{1}  x_{2}  &  \end{cases}$

از فرمول $x^{2}-Sx+P=0$ بدست مي آيد

و براي ساده كردن عبارت هاي راديكالي از راديكال هاي مركب كمك بگيريد يعني

$$\sqrt{A+ \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } + \sqrt{ \frac{A-C}{2} }$$
$$\sqrt{A- \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } - \sqrt{ \frac{A-C}{2} }$$
$$C= \sqrt{ A^{2}-B }$$

Comments

همانطور که saderi7 اشاره کرد  $x_{1} +x_{2}=2 \sqrt{ \frac{A+C}{2} }$  که در آن $A=4$ و$B=10+2 \sqrt{5}$ و $C= \sqrt{16-10-2 \sqrt{5}} = \sqrt{6-2 \sqrt{5}}= \sqrt{ ( \sqrt{5}-1 )^{2} } =  \sqrt{5}-1$

و همچنین برای حاصلضربشون کافیه از مزدوج و رابطه ی $6-2 \sqrt{5}=( \sqrt{5}-1 )^{2}$ استفاده کنید.

---

@saderi7
@erfanm
خيلي ممنون...