$\frac{{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10+\sqrt{99}}}}{{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10-\sqrt{99}}}}=?$

Question

سلام؛ حاصل عبارت زیر را چگونه می‌توان محاسبه کرد؟

$$A=\frac{{\sqrt{10+\sqrt{1}}+\sqrt{10+\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10+\sqrt{99}}}}{{\sqrt{10-\sqrt{1}}+\sqrt{10-\sqrt{2}}+\cdots+\sqrt{10-\sqrt{99}}}}$$

Answer 1

برای پیدا کردن مقدار این کسر ابتدا این فرمول راباید بلد باشیم $ \sqrt{A+ \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+ \sqrt { A^{2} -B} }{2} }+ \sqrt{ \frac{A- \sqrt{ A^{2} -B} }{2} } $ اثبات این فرمول هم خیلی ساده است کافی طرف دوم این فرمول را X در نظر بگیریدوطرف دوم را بتوان 2 برسانیم وسپس جذر بگیریم بطرف اول فرمول میرسیم. حال اگر جواب کسر مسئله داده شده را A درنظر بگیریم سپس ترکیب نسبت در مخرج بدهیم خواهیم داشت. $ \frac{A}{A+1} = \frac{{\sqrt {10 + \sqrt 1 } + \sqrt {10 + \sqrt 2 } + \cdots + \sqrt {10 + \sqrt {99} } }}{{\sqrt {10 - \sqrt 1 } + \sqrt {10 - \sqrt 2 } + \cdots + \sqrt {10 - \sqrt {99}+\sqrt {10 + \sqrt 1 }+ \sqrt {10 + \sqrt 2 } + \cdots + \sqrt{10+ \sqrt{99} } } }} $ حال هر دوجمله از مخرج کسر مضربی از یکجمله صورت خواهد بود.مثلا$ \sqrt {10 - \sqrt 1 }+ \sqrt {10 + \sqrt 1 } = \sqrt{2}\sqrt {10 + \sqrt 99 } $یعنی کل مخرج کسر $ \sqrt{2} $ برابر صورت کسر میباشد.بنابراین داریم $ \frac{A}{A+1} = \frac{1}{ \sqrt{2} } $حال اگر این معادله را طرفین -وسطین کنیم داریم$ A \sqrt{2} =A+1 \Rightarrow A( \sqrt{2} -1)=1 \Rightarrow A= \frac{1}{ \sqrt{2} -1} \Rightarrow A= \sqrt{2} +1$