فرض ميكنيم $A,B > 0$ ودوعدد حقيقي باشند.هر عبارت به صورت$ \sqrt{A \pm \sqrt{B} } $ را راديكال مركب گويند.
منظور از ساده كردن يك راديكال مركب .يعني نوشتن آن به صورت $ \sqrt{a} \pm \sqrt{b} $ مي باشد.
حال ساده ميكنيم...
$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$
$$ ( \sqrt{A+ \sqrt{B} } )^{2} = ( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^{2} $$
$$A+ \sqrt{B} =a+b+2 \sqrt{ab} $$
$$A+ \sqrt{B} =(a+b)+ \sqrt{4ab} $$
با مقايسه طرفين اين تساوي..
$$a+b=A , 4ab=B$$
پس
$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{a} + \sqrt{b} \Longrightarrow a+b=A, ab= \frac{B}{4} $$
يادآوري
معادله درجه دومي كه $ x_{1} , x_{2} $ ريشه هاي آن باشدبا توجه به
$ S= x_{1} + x_{2} \ \ \ , \ \ \ P= x_{1} x_{2} $
از فرمول $ x^{2}-Sx+P=0 $ بدست مي آيد
در نتيجه $a,b$ريشه هاي معادله ي درجه دوم$x^{2}-Ax+ \frac{B}{4}=0 $ است
وبا توجه به
يادآوري
ريشه هاي معادله درجه دو $(a x^{2}+bx+c=0 )$به صورت زير ميباشد.
$$x= \frac{-b \pm \sqrt{ b^{2} -4ac} }{2a} $$
$$a= \frac{A+ \sqrt{A^{2} -B} }{2} $$
$$b= \frac{A- \sqrt{ A^{2}-B } }{2} $$
حال با فرض اينكه$ \sqrt{ A^{2}-B }=C $باشد. مينويسيم.
$$ \sqrt{A+ \sqrt{B} } = \sqrt{a} + \sqrt{b}= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } + \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$
$$C= \sqrt{ A^{2} -B} $$
همچنين به همين صورت ميتوان ثابت كرد:
$$ \sqrt{A- \sqrt{B} }= \sqrt{ \frac{A+C}{2} } - \sqrt{ \frac{A-C}{2} } $$
$$C= \sqrt{ A^{2}-B } $$
