طول ضلع های مثلثی که از به هم وصل کردن مرکز های این ۳ دایره پدید می آید ۶ و ۸ و ۱۰ است مجموع مساحت های این ۳ دایره کدام است ؟

Question

۳ دایره دو به دو مماس خارج اند . طول ضلع های مثلثی که از به هم وصل کردن مرکز های این ۳ دایره پدید می آید ۶ و ۸ و ۱۰ است مجموع مساحت های این ۳ دایره کدام است ؟

Answer 1

ابتدا 3 دایره دو به دو مماس را مطابق شکل رسم می کنیم سپس شعاع های دایره را $r,y,b$ می نامیم به طوری که $ r\leq y \leq b$ . با توجه به اینکه اضلاع مثلث حاصل از وصل کردن مرکز های دایره به یکدیگر است پس:

$$BC=r+y=6$$ $$AB=r+b=8$$ $$AC=y+b=10$$

با توجه به اینکه $$BC+AB-AC=2r=4 \Rightarrow r=2 $$

به راحتی می توان نتیجه گرفت که $y=4, b=6$ است. پس مجموع مساحت های این 3 دایره برابر است با :

$$S= \pi r^{2}+\pi y^{2}+\pi b^{2}=56\pi $$