$ S_{1} =sin(a)+sin( a +d)+sin( a +2d)+...+sin(a +(n-1)d)$

Question

محاسبه ي اين دو مجموع زير رو ميخواستم ...ممنون!!

$$ S_{1} =sin(a)+sin( a +d)+sin( a +2d)+...+sin( a +(n-1)d)$$

$$ S_{2} =cos( a )+cos(a +d)+cos(a +2d)+...+cos(a +(n-1)d )$$

Answer 1

طرفین $S_1$ را در $2\sin \frac d2$ ضرب کنید و سپس از قوانین تبدیل ضرب به جمع زیر استفاده کنیم: $$2\sin a\sin b=\cos(a-b)-\cos(a+b)$$ داریم:

$2\sin(\frac d2 )S_1=2\sin a \sin\frac d2+2\sin(a+d)\sin\frac d2+2\sin(a+2d)\sin\frac d2+...+2\sin(a+(n-1)d)2\sin\frac d2$

در اینصورت:

$\require{cancel}2\sin( \frac d2 )S_1 = \big(\cos(a-\frac d2)- \cancel{\cos(a+\frac d2)\big)}+\big(\cancel{\cos(a+\frac d2)}-\cancel{\cos(a+\frac{3d}2)}\big)+\big(\cancel{\cos(a+\frac{3d}2)}-\cancel{\cos(a+\frac{5d}2)}\big)+...+\big(\cancel{\cos(a+\frac{2n-3}2d)}-\cos(a+\frac{2n-1}2d)\big)$

بنابراین $2\sin(\frac d2)S_1=\cos(a-\frac d2)-\cos(a+\frac{2n-1}2d)=2\sin(a+\frac{(n-1)d}2)\sin\frac{nd}2$

یعنی $$S_1=\frac{\sin(a+\frac{n-1}2d)\sin\frac{nd}2}{\sin\frac d2}$$ .

برای بعدی هم باز می توانید طرفین را در $2\sin \frac d2$ ضرب کنید و $S_2$ را به دست آورید.