در کسر $ \frac{5}{6} $ در هر حرکت می توانیم یا به صورتِ کسر 6 واحد اضافه کنیم یا 5 واحد به مخرج، با حداقل چند حرکت می توانیم دوباره به همان کسر برسیم؟

Question

با کسر $ \frac{5}{6} $ شروع می‌کنیم. در هر حرکت می‌توانیم یا به صورتِ کسر 6 واحد اضافه کنیم، و یا 5 واحد به مخرج کسر، ولی نه هر دو. با حداقل چند حرکت می‌توانیم دوباره به کسری برابر $ \frac{5}{6} $ برسیم؟

Comments

@aliamir06 لطفا هم تایپ ریاضی را بیاموزید طبق راهنمای سایت و هم عنوان درست بنویسید. عنوان سوال اصلا بیانگر موضوع سوال نیست.

Answer 1

به نام خدا.

فرض کنید تعداد مراحلی که $6$ واحد افزودیم برابر با $k$ و تعداد مراحلی که $5$ واحد افزودیم برابر با $n$ باشد. هدف حداقل مقدار $k+n$ است. می دانیم:

$ \frac{5+6k}{6+5n} = \frac{5}{6} \Longrightarrow 36k=25n \Longrightarrow 36 | 25n \Longrightarrow 36 | n \Longrightarrow n \geq 36 \Longrightarrow n=36 \Longrightarrow k=25 \Longrightarrow k+n=61$

Comments

باسلام.اشکالی که در راه حل فوق وجود دارد این است که توالی اضافه  کردن ها به صورت و یا مخرج در نظر گرفته نشده واین حل تنها به عنوان یک حالت قابل قبول است که ممکنه حداقل نباشد.

---

@Rez فرض کنید که قرار است دوبار شش واحد به صورت و یکبار پنج واحد به مخرج اضافه کنیم. آیا رعایت ترتیب باعث می شود که کسر نهایی مقدار های متفاوتی دهد؟ خیر. لطفاً دلیلتان را واضح تر بگویید.