به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
144 بازدید
در دبیرستان توسط SN (259 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

چطور می‌توان ثابت کرد که $max \binom{n}{k} $ زمانی رخ می‌دهد که $k = [ \frac{n}{2} ]$.

تلاش خودم: یکی از روش‌های ساخت مثلث خیام، درستی احتمالی این موضوع را نشان می‌دهد ولی اثبات آن نیست. این پرسش را برای بخشی از اثبات مطلبی در پرسش دیگری‌ام نیاز دارم؛ https://math.irancircle.com/24871

1 پاسخ

+4 امتیاز
توسط AmirHosein (18,522 امتیاز)
انتخاب شده توسط SN
 
بهترین پاسخ

عدد $n$ را یک عدد طبیعی دلخواه بردارید. پس از اینجا به بعد $n$ ثابت است و تغییر نمی‌کند. اکنون توجه کنید که برای هر عدد طبیعی $k$ای بین صفر تا $n$، همواره داریم $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$. اگر $n$ یک عدد زوج مانند $n=2m$ باشد آنگاه $[\frac{n}{2}]=m$ و با توجه به نکتهٔ گفته شده کافی است نشان دهیم که $\binom{n}{m}$ از $\binom{n}{k}$هایی که $k< m$ است، بزرگتر است در آن صورت به طور خودکار چون برای هر $\binom{n}{k}$ای که $k>m$ داریم که $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ و $n-k< m$، نتیجه می‌شود که $\binom{n}{m}$ از این ترکیب‌ها هم بزرگتر است. در حالت دیگر که $n$ فرد است یعنی $n=2m+1$، داریم $[\frac{n}{2}]=m$ و به روش مشابه اگر فقط نشان دهیم که $\binom{n}{m}$ بزرگتر از $\binom{n}{k}$هایی که $k< m$ است، می‌باشد، آنگاه نشان داده‌ایم که $\binom{n}{m}=\binom{n}{m+1}$ بزرگترین مقدار ممکن بین همهٔ $\binom{n}{k}$ها که $k$ بین عددهای $0,1,.\dots, n$ می‌تواند تغییر کند، است. حالت یکُم را در نظر می‌گیریم و حالت دوم به روش مشابه قابل اثبات است که به عهدهٔ خود خواننده می‌گذاریم.

پس عدد $k$ را یک عدد اکیدا کوچکتر از $m$ بردارید. توجه کنید که

$$\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!},\quad\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

هر دو به شکل کسری با صورت‌های یکسان نوشته می‌شوند. فرق‌شان در چیست؟ در مخرج‌شان. می‌دانیم که از بین دو کسر با صورتِ برابر، آنی بزرگتر است که مخرجش کوچکتر است. نه؟ بیاییم عددهای ظاهر‌شده در فاکتوریل را بنویسیم.

$$m!(n-m)!=(1)(2)\cdots(m)(1)(2)\cdots(n-m)$$

چون $m$ از $k$ بزرگتر است پس ضرب بالا شاملِ $k$ هم است، در واقع داریم

$$m!(n-m)!=(1)(2)\cdots(k-1)(k)(k+1)\cdots(m)(1)(2)\cdots(n-m)$$

اکنون عددهای حاضر در ضرب دو فاکتوریل دیگر در مخرج بعدی.

$$k!(n-k)!=(1)(2)\cdots(k)(1)(2)\cdots(n-k)$$

چون $m$ از $k$ بزرگتر است پس، $n-k$ از $n-m$ بزرگتر است و ضرب بالا شاملِ $n-m$ هم است، در واقع داریم

$$k!(n-k)!=(1)(2)\cdots(k)(1)(2)\cdots(n-m-1)(n-m)(n-m+1)\cdots(n-k)$$

عددهای مشترک را می‌توانیم کنار بگذاریم چون بزرگتریِ ضرب توسط آنها ایجاد نمی‌شود.

$$\begin{array}{l} \text{در مخرج یکُم }\colon(k+1)\cdots(m)\\ \text{در مخرج دوم }\colon(n-m+1)\cdots(n-k) \end{array}$$

توجه کنید که در مخرج نخست تعداد عددهای باقیمانده $m-k$ تا است و در مخرج دوم $(n-k)-(n-m)$ یعنی دوباره $m-k$ تا هستند. بعلاوه این عددها پشت‌سرهم (متوالی) هستند. بین دو حاصلضرب که هر یک تعداد یکسانی عدد طبیعیِ پشت‌سرهم هستند، کدام یک بزرگتر است؟ به روشنی حاصلضربی که بزگترین شرکت‌کننده‌اش عدد بزرگتری باشد. چون $k< m$ و $m=\frac{n}{2}$ پس $n-k>m$. در نتیجه مخرج کسر مربوط به $\binom{n}{k}$ بزرگتر است که نشان می‌دهد این کسر باید از کسر دیگری کوچکتر باشد. اثبات اینجا کامل می‌شود.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...