آیا فرمول کلی برای عبارت $ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} +...+ \binom{n}{k} $ وجود داره؟

Question

به کمک مثلث خیام میشه فرمولهایی رو برای مقادیر مشخصی از $k$ نوشت ولی هنوز به فرمول کلی که شامل هردو متغیر $k$ و $n$ باشه و با جایگذاری کردن اعداد بجای این دو بتونه به عبارت پایینی (یا همون صورت سوال) جواب بده، نرسیدم
بدیهیم هست که $k \leq n$ $$ \sum_{i=0}^k \binom{n}{i} $$

Comments

سوالتون مشخص نیست که دنبال چه چیزی هستید اما همین عبارت را اگر تعداد زیر مجموعه ها فرض کنیم برابر دو به توان nاست.

---

@mahdiahmadileedari پرسش روشن است. برای نمونه اگر $k=n$ آنگاه حاصل می‌شود $2^n$، اگر $k=0$ حاصل می‌شود ۱، اگر $k=1$، حاصل می‌شود $n+1$. اما اینها برای مقدارهای خاص و ثابتی از $k$ هستند. اکنون یک فرمول (تابع دو متغیره) بیاورید که بدون نیاز به ثابت گرفتن $k$ برای هر $n$ و $k$ای مقدار جمع گفته شده را بدهد.

---

یعنی اشتباه گفتم؟