اگر $n=1$ باشدتساوی زیر برقرار است.
$ \binom{1}{0} + \binom{1}{1}= 2^{1} $
اگر $n$ را مساوی $m$ بگیریم و تساوی زیر را درست فرض کنیم
$$ \binom{m}{0} + \binom{m}{1}+ \binom{m}{2}+...+ \binom{m}{m-1}+ \binom{m}{m}= 2^{m}$$
حال $n$ را مساوی $m+1$ میگیریم و حکم زیر را ثابت می کنیم.
$$\binom{m+1}{0} + \binom{m+1}{1}+ \binom{m+1}{2}+...+\color{green}{ \binom{m+1}{m}}+ \binom{m+1}{m+1}= 2^{m+1}$$
باتوجه به تساوی $\color{blue}{ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}} $
طرف اول حکم
\begin{align}
\color{red}{\binom{m}{0} +(\binom{m}{1} + \binom{m}{0})+(\binom{m}{2} + \binom{m}{1})+...+\color{green}{(\binom{m}{m} + \binom{m}{m-1})}+\binom{m}{m}}\\
\color{red}{=2(\binom{m}{0} + \binom{m}{1}+ \binom{m}{2}+...+ \binom{m}{m-1}+ \binom{m}{m})=2 \times 2^{m}= 2^{m+1}}
\end{align}
توجه:
$ \binom{m+1}{0}= \binom{m}{0}\text{ و }\binom{m+1}{m+1}=\binom{m}{m} $
