اتّحاد $ \binom{n}{0}+ \binom{n}{1}+...+ \binom{n}{n}= 2^{n} $ را ثابت کنید

Question

سلام خدمت دوستان عزیز من می خواستم بدونم آیا اثباتی برای این اتّحاد میشه انجام داد؟ $ \binom{n}{0}+ \binom{n}{1}+...+ \binom{n}{n}= 2^{n} $ یکی از راه های اثباتش از خاصیت زیر مجموعه های یک مجموعۀ$n$عضویه ولی من می خواستم بدونم آیا اثبات دیگه ای داره یانه.به نظرم از طریق استقرا بشه اثباتش کرد.ممنون می شم اگر کمک کنید.

Comments

mmvf20041383@ بله با استقرا هم میتوان به نتیجه رسید

Answer 1

به نام خدا.

ابتدا اتحاد نیوتن را می نویسم:

$(a+b)^n= \binom{n}{0} a^n+ \binom{n}{1} a^{n-1}b+...+ \binom{n}{n} b^n$

کافیست که $a=b=1$ را قرار دهیم:

$2^n= \binom{n}{0}+ \binom{n}{1} +...+ \binom{n}{n} $

Comments

ممنونم از لطف شما

---

@mmvf20041383 به جای ارسال دیدگاه تشکر، از کلیک بر روی سه‌گوش رو به بالای سمت راست پستی که برایتان مفید بوده‌است استفاده کنید و برای بهترین پاسخ نیز از کلیک بر روی علامت تیک‌مانند سمت راست پاسخ استفاده کنید. به قسمتِ «اگر کسی به سوالم پاسخ داد» در صفحهٔ راهنمای سایت نگاه کنید. https://math.irancircle.com/faq

Answer 2

اگر $n=1$ باشدتساوی زیر برقرار است. $ \binom{1}{0} + \binom{1}{1}= 2^{1} $

اگر $n$ را مساوی $m$ بگیریم و تساوی زیر را درست فرض کنیم

$$ \binom{m}{0} + \binom{m}{1}+ \binom{m}{2}+...+ \binom{m}{m-1}+ \binom{m}{m}= 2^{m}$$

حال $n$ را مساوی $m+1$ میگیریم و حکم زیر را ثابت می کنیم.

$$\binom{m+1}{0} + \binom{m+1}{1}+ \binom{m+1}{2}+...+\color{green}{ \binom{m+1}{m}}+ \binom{m+1}{m+1}= 2^{m+1}$$

باتوجه به تساوی $\color{blue}{ \binom{n}{k}=\binom{n-1}{k}+\binom{n-1}{k-1}} $

طرف اول حکم

\begin{align} \color{red}{\binom{m}{0} +(\binom{m}{1} + \binom{m}{0})+(\binom{m}{2} + \binom{m}{1})+...+\color{green}{(\binom{m}{m} + \binom{m}{m-1})}+\binom{m}{m}}\\ \color{red}{=2(\binom{m}{0} + \binom{m}{1}+ \binom{m}{2}+...+ \binom{m}{m-1}+ \binom{m}{m})=2 \times 2^{m}= 2^{m+1}} \end{align}

توجه: $ \binom{m+1}{0}= \binom{m}{0}\text{ و }\binom{m+1}{m+1}=\binom{m}{m} $

Comments

mmvf20041383@  اثبات استقرا را ملاحظه بفرمایید