ثابت کنید : $ \binom{n}{1}+2 \binom{n}{2}+3 \binom{n}{3}+...+n \binom{n}{n}=n \times 2^{n-1} $

Question

اگر n عدد طبیعی باشد ثابت کنید : $ \binom{n}{1}+2 \binom{n}{2}+3 \binom{n}{3}+...+n \binom{n}{n}=n \times 2^{n-1} $

Answer 1

واضح است که $$r \binom{n}{r} =n \binom{n-1}{r-1} $$

بنابراین $$\binom{n}{1}+2 \binom{n}{2}+3 \binom{n}{3}+...+n \binom{n}{n}=n\binom{n-1}{0}+n \binom{n-1}{1}+n \binom{n-1}{2}+...+n \binom{n-1}{n-1}=n \times 2^{n-1}$$

Answer 2

فرض کنید می خواهیم از $n$ نفر $r$ تا انخاب کنیم و یکی را رییس کنیم.برای این کار می توانیم روی $r$ حالت بندی کنیم که سمت چپ به دست می اید.اما می توانیم ابتدا رییس را انخاب کرده و سپس بگوییم که دیگر عضو ها می توانند باشند یا نباشند که جواب $n*2^{n-1}$ را می دهد پی دو طرف تساوی برابرند.البته برای اثبات جبری می توانید از بصط دو جمله ای استفاده کنید.