به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
Visanil
+3 امتیاز
621 بازدید
در دبیرستان توسط Under sky (595 امتیاز)

در معادله \binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{5} واضح است که یکی از جواب‌ها n=3 و دیگری n=6 است. آیا این معادله جواب دیگری دارد؟

توسط Mohsen94 (486 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina
–2
0 هم هست
دوتا عدد دیگه هم هست اما اعشاری میشه
توسط fardina (17,412 امتیاز)
+1
این یک پاسخ نیست.
باید همونطور که اشاره شده با ذکر جزییات پاسخ رو بنویسید. این جمله شما میتونست به عنوان یک دیدگاه باشه.
توسط AmirHosein (19,677 امتیاز)
@Mohsen94 زمانی‌که فرض بیشتری داده نشود تنها به دنبال اعداد طبیعی که عدد پائین از عدد بالا کوچکتریامساوی شود هستند. بنابراین صفر و اعداد اعشاری در این پرسش فاقد معنا و ارزش هستند.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط saderi7 (7,860 امتیاز)

ابتدا واضح است که n+2=5 \Rightarrow n=3 حال با استفاده از اتحاد زیر

\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}

خواهیم داشت : \binom{2n+1}{n+2}=\binom{2n+1}{n-1}=\binom{2n+1}{5} که واضح است :

n-1=5 \Rightarrow n=6

حال باید ثابت کنیم جواب دیگری ندارد ابتدا بسط میدهیم و جواب های n > 6 را پیدا میکنیم

(n-1)!(n+2)!=5!(2n-4)! \ \ \ \ \ \text{With} \ \ \ : \ \ n>6

اما داریم :

(2n-4)!\gt(2n-4)(2n-6)^2(2n-8)^2\cdots6^2\cdot4^2\cdot2^2=2^{2n-5}(n-2)!(n-3)!

و همچنین :

{(n-1)!(n+2)!\over(n-2)!(n-3)!}=(n-1)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)\lt n^6

در نتیجه

{(n-1)!(n+2)!\over5!(2n-4)!}\lt{n^6\over120\cdot2^{2n-5}}={4n^6\over15\cdot4^n}\lt1\quad\text{if }n\gt8

بنابراین با چک کردن n=7,8 که جواب نیستند . در می یابیم که برای n > 6 جواب نداریم . و همینطور برای n > 0 فقط n=3 , 6 است .

...