ابتدا واضح است که
$$n+2=5 \Rightarrow n=3$$
حال با استفاده از اتحاد زیر
$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$
خواهیم داشت :
$$\binom{2n+1}{n+2}=\binom{2n+1}{n-1}=\binom{2n+1}{5}$$
که واضح است :
$$n-1=5 \Rightarrow n=6$$
حال باید ثابت کنیم جواب دیگری ندارد ابتدا بسط میدهیم و جواب های $n > 6$ را پیدا میکنیم
$$(n-1)!(n+2)!=5!(2n-4)! \ \ \ \ \ \text{With} \ \ \ : \ \ n>6$$
اما داریم :
$$(2n-4)!\gt(2n-4)(2n-6)^2(2n-8)^2\cdots6^2\cdot4^2\cdot2^2=2^{2n-5}(n-2)!(n-3)!$$
و همچنین :
$${(n-1)!(n+2)!\over(n-2)!(n-3)!}=(n-1)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)\lt n^6$$
در نتیجه
$${(n-1)!(n+2)!\over5!(2n-4)!}\lt{n^6\over120\cdot2^{2n-5}}={4n^6\over15\cdot4^n}\lt1\quad\text{if }n\gt8$$
بنابراین با چک کردن $n=7,8$ که جواب نیستند . در می یابیم که برای $n > 6$ جواب نداریم . و همینطور برای $n > 0$ فقط $n=3 , 6$ است .
