حل معادله $ \binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{5} $

Question

در معادله$$ \binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{5} $$ واضح است که یکی از جواب‌ها $n=3$ و دیگری $n=6$ است. آیا این معادله جواب دیگری دارد؟

Comments

0 هم هست
دوتا عدد دیگه هم هست اما اعشاری میشه

---

این یک پاسخ نیست.
باید همونطور که اشاره شده با ذکر جزییات پاسخ رو بنویسید. این جمله شما میتونست به عنوان یک دیدگاه باشه.

---

@Mohsen94 زمانی‌که فرض بیشتری داده نشود تنها به دنبال اعداد طبیعی که عدد پائین از عدد بالا کوچکتریامساوی شود هستند. بنابراین صفر و اعداد اعشاری در این پرسش فاقد معنا و ارزش هستند.

Answer 1

ابتدا واضح است که $$n+2=5 \Rightarrow n=3$$ حال با استفاده از اتحاد زیر

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

خواهیم داشت : $$\binom{2n+1}{n+2}=\binom{2n+1}{n-1}=\binom{2n+1}{5}$$ که واضح است :

$$n-1=5 \Rightarrow n=6$$

---

حال باید ثابت کنیم جواب دیگری ندارد ابتدا بسط میدهیم و جواب های $n > 6$ را پیدا میکنیم

$$(n-1)!(n+2)!=5!(2n-4)! \ \ \ \ \ \text{With} \ \ \ : \ \ n>6$$

اما داریم :

$$(2n-4)!\gt(2n-4)(2n-6)^2(2n-8)^2\cdots6^2\cdot4^2\cdot2^2=2^{2n-5}(n-2)!(n-3)!$$

و همچنین :

$${(n-1)!(n+2)!\over(n-2)!(n-3)!}=(n-1)(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)\lt n^6$$

در نتیجه

$${(n-1)!(n+2)!\over5!(2n-4)!}\lt{n^6\over120\cdot2^{2n-5}}={4n^6\over15\cdot4^n}\lt1\quad\text{if }n\gt8$$

بنابراین با چک کردن $n=7,8$ که جواب نیستند . در می یابیم که برای $n > 6$ جواب نداریم . و همینطور برای $n > 0$ فقط $n=3 , 6$ است .