چرا تعداد حالت های انتخاب ۲ لنگه کفش از ۶ جفت کفش که از یک جفت نباشند برابر با $\binom{6}{1}\binom{2}{1}\binom{5}{1}\binom{2}{1}$ نیست؟ اشتباه کجاست؟

Question

از شش جفت کفش متمایز می‌خواهیم دو لنگه کفش انتخاب کنیم که تشکیل یک جفت ندهند. چرا پاسخ من در پائین اشتباه است؟

$$\binom{6}{1}\binom{2}{1}\binom{5}{1}\binom{2}{1}$$

در پاسخنامه پاسخ زیر آورده شده‌است.

$$\binom{6}{2}\times 2\times 2$$

Answer 1

فرض کنید $6$ شی مختلف دارید. می خواهید دو تا شی را انتخاب کنید. به چند طریق می توانید این کار را انجام دهید؟

کاری که شما کردید این است که تعداد روش های قرار دادن این $6$ شی در دو جایگاه را حساب کرده اید. یعنی ترتیب را رعایت کرده اید که بدین معنی است که برای هر دو شی دلخواه $a,b$ از این $6$ شی حالت های $ab$ و $ba$ با هم متفاوت اند. ولی برای ما ترتیب مهم نیست و صرفاً می خواهیم دو شی را داشته باشیم. پس باید پاسخ را بر $2$ تقسیم کنید تا به جواب درست برسید.