اثبات فرمول ترکیب $C(n,r)= \frac{n!}{r!(n-r)!} $

Question

فرض کنید که $n,r$ دو عدد صحیح باشند بطوریکه $n > r > 0$ باشد.نشان دهید که:

$C(n,r)= \frac{n!}{r!(n-r)!} $ (ترکیب)

Comments

اگه لطف بفرمایید هرچه سریع تر جواب رو قرار بدین ممنون میشم

---

@رها فکر نکنم چیزی باشد که نتوان در کتاب‌‌ها یافت! به جای قرار دادنش و قیدکردن «هر چه سریع‌تر» می‌توانستید خودتان جستجو کنید.

Answer 1

مسئله انتخاب r شی از n شی وقتی ترتیب در انتخاب اهمیت نداشته باشد برابر $C(n,r)$ خواهد بود کافی است شمارش را از طریق دیگری انجام داده و حاصل دو حالت را با هم برابر قرار دهیم .

خب کافی است n شی متمایز را روی یک صف قرار دهیم به $n!$ طریق حال چون از این تعداد جایگشت جایگشت هایی که در آن r شی مورد نظر ما در یک دسته قرار گرفته اند به $r!$ طریق مسلما نباید شمرده شوند زیرا ترتیب انتخاب آنها اهمیت نداشته و فقط یک ترتیب آن شمرده میشود لذا باید جایگشت کل را بر جایگشت تکراری تقسیم کنیم پس تا اینجا داریم $\frac{n!}{r!}$ هم چنین عناصری که خارج از دسته r تایی مورد نظر ما هستند نیز ترتیب در انتخاب نخواهند داشت و فقط یک ترتیب برای آن مورد نظر خواهد بود که تعداد جایگشت آن $(n−r)!$ میباشد که باید جایگشت بدست آمده را بر این جایگشت نیز تقسیم کرد و بنابراین تعداد حالت های انتخاب برابر $\frac{n!}{r!(n−r)!}$ خواهد بود.

به طور واضح تر فرض کنید n مهره متمایز روی یک صف قرار دارد ومیخواهیم یک جعبه درباز رو روی این مهره ها قرار دهیم به طوریکه r مهره زیر این جعبه خواهد رفت پس باید اول ترتیب های متفاوت این n مهره را در نظر بگیرید که همان $n!$ میباشد یعنی $n!$ جابجایی بین مهره ها صورت گرفته اما از این همه تعداد جابجایی فقط آنهااییی را باید شمرد که اولا r مهره ای که زیر جعبه رفته متمایز بوده و حالت های تکراری که شامل جابجایی آن r مهره و هم چنین جابجایی $n-r$ مهره خارج از جعبه که مد نظر نیست نباید شمرده شوند و لذا از جایگشت کل آنها را برداشته ایم .