در مثلث $ABC$ ثابت کنید: $$ \frac{1}{\sin^2( \varphi )}= \frac{1}{\sin^2(A)}+ \frac{1}{\sin^2(B)}+\frac{1}{\sin^2(C)}$$

Question

در مثلث $ABC$ نقطۀ $P$ به گونه‌ای قرار دارد که $P\hat{A}B=P \hat{B}C=P \hat{C}A= \varphi$. ثابت کنید: $$ \frac{1}{\sin^2( \varphi )}= \frac{1}{\sin^2(A)}+ \frac{1}{\sin^2(B)}+\frac{1}{\sin^2(C)}$$

Answer 1

• در سه مرحله ثابت می کنیم
• مرحله اول) محاسبه سمت چپ تساوی با توجه به توضیحات لینک رابطه داریم: $$ L=\frac{1}{sin^2 \varphi } =1+cot^2 \varphi = 1+\frac{(a^2 +b^2 +c^2) ^2 }{16s^2 } \quad (1) $$
• مرحل دوم) محاسبه سمت راست تساوی، برای محاسبه آن از قاعده کسینوس ها برای مثلث استفاده می کنیم $$cosA= \frac{b^2 +c^2 - a^2 }{2 bc} \Rightarrow \frac{1}{sin^2 A} = \frac{4b^2 c^2 }{(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c)} $$ با استفاده از فرمول هرون برای مساحت مثلث خواهیم داشت $$\frac{1}{sin^2 A} = \frac{b^2 c^2 }{4 s^2 } $$ بطور متشابه برای دو کسر دیگر هم داریم بنابراین سمت راست تساوی بدست می آید $$R= \frac{b^2c^2+ a^2 b^2 +a^2c^2 }{4s^2 } \quad (2)$$
• مرحله سوم) کافی است برای تساوی 1 و 2 رابطه زیر با استفاده از فرمول هرون ثابت کنید $$16s^2 +(a^2 +b^2 +c^2) ^2 =4(b^2 c^2 +a^2 b^2 +a^2 c^2) $$